Chứng minh rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x -

Câu hỏi số 737360:

Vận dụng

Chứng minh rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) có nghiệm với mọi giá trị của \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:737360

Phương pháp giải

Nhân khai triển, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai.

Chứng minh phương trình luôn có nghiệm bằng điều kiện \(\Delta {\rm{\;}} \ge 0\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\)

Suy ra \(3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\;\Delta = {(a + b + c)^2} - 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\\;\,\,\,\,\, = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca\\\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca} \right)\\\;\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)} \right]\\\;\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left[ {{{(a - b)}^2} + {{(b - c)}^2} + {{(c - a)}^2}} \right] \ge 0{\rm{\;}}\forall a,b,c.\end{array}\)

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link