Cho ba số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn các điều kiện \(a \ge b \ge c,\,\,a + b + c = 0\) và \({a^2} +

Câu hỏi số 739486:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn các điều kiện \(a \ge b \ge c,\,\,a + b + c = 0\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + b\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:739486

Giải chi tiết

Nếu \(a < 0\) thì \(b < 0,\,\,c < 0\) do đó \(a + b + c < 0\) (mâu thuẫn)

Do đó \(a \ge 0\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(a + b + c = 0\) suy ra \(a + b = - c\)

Thay vào \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 6\) ta được:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {\left( {a + b} \right)^2} = 6\\2{a^2} + 2{b^2} + 2ab = 6\\{a^2} + {b^2} + ab = 3\\\dfrac{{{a^2}}}{4} + ab + {b^2} = 3 - \dfrac{{3{a^2}}}{4}\\{\left( {\dfrac{a}{2} + b} \right)^2} = 3 - \dfrac{{3{a^2}}}{4}\end{array}\)

Vì \({\left( {\dfrac{a}{2} + b} \right)^2} \ge 0\) nên \(3 - \dfrac{{3{a^2}}}{4} \ge 0\) suy ra \({a^2} \le 4\) hay \( - 2 \le a \le 2\,\,\,\left( 2 \right)\)

Kết hợp (1) và (2) suy ra \(0 \le a \le 2\)

Ta có: \(a + b + c = 0\) suy ra \(a + 2b = b - c \ge 0\,\,\left( {do\,\,b \ge c} \right)\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{a}{2} + b} \right)^2} = 3 - \dfrac{{3{a^2}}}{4}\\\dfrac{{{{\left( {a + 2b} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{12 - 3{a^2}}}{4}\\{\left( {a + 2b} \right)^2} = 12 - 3{a^2}\\a + 2b = \sqrt {12 - 3{a^2}} \\b = \dfrac{{\sqrt {12 - 3{a^2}} - a}}{2}\end{array}\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}a + b = a + \dfrac{{\sqrt {12 - 3{a^2}} - a}}{2} = \dfrac{{a + \sqrt {3\left( {4 - {a^2}} \right)} }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{{\sqrt {3\left( {4 - {a^2}} \right)} - \left( {2 - a} \right)}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{{\sqrt {3\left( {2 - a} \right)\left( {2 + a} \right)} - \sqrt {2 - a} .\sqrt {2 - a} }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{{\sqrt {2 - a} .\left( {\sqrt {3\left( {2 + a} \right)} - \sqrt {2 - a} } \right)}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{{\sqrt {2 - a} .\left[ {3\left( {2 + a} \right) - \left( {2 - a} \right)} \right]}}{{2\left( {\sqrt {3\left( {2 + a} \right)} + \sqrt {2 - a} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + \dfrac{{\sqrt {2 - a} .\left( {4 + 4a} \right)}}{{2\left( {\sqrt {3\left( {2 + a} \right)} + \sqrt {2 - a} } \right)}} \ge 1\,\,\left( {do\,\,0 \le a \le 2} \right)\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 1 xảy ra khi \(a = 2,\,\,b = - 1,\,\,c = - 1\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link