Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\),
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB = 2R\). Dây \(MN\) vuông góc với \(AB\) tại \(I\), với \(IA < IB\). Trên đoạn \(MI\) lấy điểm \(E\) (\(E\) khác \(M\) với \(I\)). Tia \(AE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(K\).a) Chứng minh rằng tứ giác \(IEKB\) nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh rằng tam giác \(AME\) đồng dạng với tam giác \(AKM\) và \(AE.AK + BI.BA = 4{R^2}\)
c) Tính độ dài đoạn thẳng \(OI\) theo \(R\) khi chu vi tam giác \(MIO\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Xét đường tròn (O) đường kính AB có \(\angle AKB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó \(\angle EKB = 90^\circ \) hay \(\angle EKB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính EB.
Suy ra E, K, B thuộc đường tròn đường kính EB.
Ta có \(\angle EIB = 90^\circ \) nên \(\angle EIB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính EB.
Suy ra E, I, B thuộc đường tròn đường kính EB.
Vậy bốn điểm E, K, B, I cùng thuộc 1 đường tròn nên tứ giác \(IEKB\) nội tiếp.
b) Xét \(\Delta MON\) cân tại O (OM = ON = R) có OI là đường cao nên đồng thời là đường phân giác.
Suy ra \(\angle {MOI} = \angle {NOI}\)
Xét đường tròn (O) có: \(\angle {MKA} = \dfrac{1}{2}\angle {MOI};\,\,\,\angle {AME} = \dfrac{1}{2}\angle {NOI}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung)
Khi đó \(\angle AME = \angle AKM\)
Xét \(\Delta AME\) và \(\Delta AKM\) có:
\(\angle AME = \angle AKM\) (cmt)
\(\angle MAK\) chung
Suy ra \(\Delta AME\)~\(\Delta AKM\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{AM}}{{AK}} = \dfrac{{AE}}{{AM}}\) hay \(AE.AK = A{M^2}\)
Xét \(\Delta BMI\) và \(\Delta BAM\) có:
\(\angle BIM = \angle BMA = {90^0}\) (\(\angle BMA\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\angle MBA\) chung
Suy ra \(\Delta BMI\)~\(\Delta BAM\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{BM}}{{AB}} = \dfrac{{BI}}{{BM}}\) hay \(BI.BA = B{M^2}\)
Theo định lí Pythagore ta có \(A{M^2} + B{M^2} = A{B^2}\)
Ta có: \(AE.AK + BI.BA = A{M^2} + B{M^2} = A{B^2} = 4{R^2}\) (đpcm)
c) Chu vi tam giác \(MIO\) là \(C = MI + IO + OM = MI + IO + R\)
Ta có: \(MI + IO \le \sqrt {2\left( {M{I^2} + I{O^2}} \right)} = \sqrt {2O{M^2}} = \sqrt {2{R^2}} = R\sqrt 2 \) (theo BĐT Bunyakovski)
Khi đó \(C \le R + R\sqrt 2 \)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(MI = IO\) hay \(2O{I^2} = {R^2}\) suy ra \(O{I^2} = \dfrac{{{R^2}}}{2}\) hay \(OI = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
