Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng 20cm. Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm

Câu hỏi số 746066:

Vận dụng

Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng 20cm. Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật \(MNPQ\). Tìm độ dài đoạn \(MB\) để hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:746066

Phương pháp giải

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tìm \(QM\) theo \(BM\).

Từ diện tích hình chữ nhật MNPQ ta có \({S_{MNPQ}} = 2\sqrt 3 \left( {10 - BM} \right).BM\)

Áp dụng BĐT Cauchy và xác định BM.

Giải chi tiết

Ta có: \(MN = BC - 2BM = 20 - 2BM\)

Tam giác \(ABC\) đều nên \(\angle B = 60^\circ \)

Xét tam giác \(BMQ\) vuông tại \(M\) có \(\tan 60^\circ = \dfrac{{QM}}{{BM}}\) suy ra \(QM = BM\sqrt 3 \)

Ta có: \({S_{MNPQ}} = MN.QM = \left( {20 - 2BM} \right).BM\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \left( {10 - BM} \right).BM\)

Theo BĐT Cauchy ta có \(\left( {10 - BM} \right)BM \le \dfrac{{{{\left( {10 - BM + BM} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{100}}{4} = 25\)

Suy ra \({S_{MNPQ}} = 2\sqrt 3 \left( {10 - BM} \right)BM \le 25.2\sqrt 3 = 50\sqrt 3 \,\,(c{m^2})\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(10 - BM = BM\) suy ra \(2BM = 10\) hay \(BM = 5\)

Vậy \(BM = 5cm\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link