1) Một khúc sông rộng khoảng 157m. Một con tàu mất 5 phút để đi từ vị trí B (bờ bên này)

Câu hỏi số 746065:

Vận dụng

1) Một khúc sông rộng khoảng 157m. Một con tàu mất 5 phút để đi từ vị trí B (bờ bên này) đến vị trí C (bờ bên kia). Tàu đi với vận tốc 2km/h (tính cả vận tốc thật của tàu và vận tốc dòng nước) và bị dòng nước đẩy lệch đi một góc \(\alpha \) như hình vẽ. Tính góc \(\alpha \) (kết quả làm tròn đến độ).

2) Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\). Kẻ đường kính \(AQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt cạnh \(BC\) tại \(I\).

a) Chứng minh bốn điểm \(A,\,\,F,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc một đường tròn. Gọi tâm đường tròn là \(G\).

b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( G \right)\)

c) Gọi \(P\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\). Chứng minh \(\Delta AEP\) đồng dạng với \(\Delta ABI\) và \(PI{\rm{//}}HQ\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:746065

Phương pháp giải

1) Đổi đơn vị, từ đó xác định quãng đường con tàu đã đi (BC).

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn \(\alpha \) với hai cạnh đã biết là AB và BC.

a) Chứng minh 4 điểm \(A,\,\,F,\,\,H,\,\,E\) thuộc đường tròn đường kính AH.

b) Chứng minh ME vuông góc với bán kính GE của đường tròn tâm G.

c) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc-góc từ đó suy ra cặp đoạn thẳng tỉ lệ để từ đó chứng minh hai đường thẳng song song.

Giải chi tiết

1) Đổi \(5\) phút \( = \dfrac{1}{{12}}\) giờ

Quãng đường con tàu đã đi là \(2.\dfrac{1}{{12}} = \dfrac{1}{6}\,\,(km) = \dfrac{{500}}{3}\,\,(m)\)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(\cos \alpha = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{157}}{{\dfrac{{550}}{3}}} = \dfrac{{471}}{{500}}\)

Do đó \(\alpha \approx 20^\circ \)

a) Ta có: \(\angle AFH = 90^\circ \)

Do đó \(A,\,\,F,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Tương tự \(A,\,\,E,\,\,H\) cũng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Như vậy \(A,\,\,E,\,\,F,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Vì \(G\) là tâm của đường tròn nên \(G\) là trung điển của \(AH\)

b) Vì \(A,\,\,E,\,\,F,\,\,H\) cùng thuộc đường tròn tâm \(G\) nên \(GE = GH\)

Do đó tam giác \(GEH\) cân tại \(G\)

Suy ra \(\angle GEH = \angle GHE\)

Mà \(\angle GHE = \angle BHD\) (hai góc đối đỉnh) nên \(\angle GEH = \angle BHD\,\,\left( 1 \right)\)

Lại có tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) có \(EM\) là đường trung tuyến

Do đó \(ME = MB = MC\)

Suy ra tam giác \(MEB\) cân tại \(M\)

Khi đó \(\angle MEB = \angle MBE\,\,\left( 2 \right)\)

Mặt khác \(\angle BHD + \angle MBE = 90^\circ \,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\angle GEH + \angle MEB = 90^\circ \) hay \(\angle MEG = 90^\circ \)

Do đó \(ME\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( G \right)\)

c) Ta có: \(\angle ACB,\,\,\angle AQB\) cùng chắn cung \(AB\)

Do đó \(\angle ACB = \angle AQB\) (theo tính chất)

Mà \(\angle ACB + \angle CAD = 90^\circ ,\,\,\angle AQB + \angle BAQ = 90^\circ \)

Nên \(\angle CAD = \angle BAQ\)

Ta có: \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\)

Do đó \(\Delta BEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (1)

Tương tự \(\Delta BFC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(B,\,\,F,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\)

Suy ra tứ giác \(BFEC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\)

Khi đó \(\angle FBC + \angle FEC = 180^\circ \) (tính chất tứ giác nội tiếp)

Mà \(\angle AEP + \angle FEC = 180^\circ \)(2 góc kề bù) nên \(\angle FBC = \angle AEP\)

Xét \(\Delta AEP\) và \(\Delta ABI\) có:

\(\begin{array}{l}\angle EAP = \angle BAI\\\angle AEP = \angle ABI\end{array}\)

Suy ra \(\Delta AEP\)~\(\Delta ABI\,\,\left( {g.g} \right)\)

Khi đó \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AP}}{{AI}}\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\CQ \bot AC\end{array} \right.\) suy ra \(BH\parallel CQ\,\,\left( 3 \right)\)

Tương tự \(CH\parallel BQ\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(BHCQ\) là hình bình hành

Suy ra \(BC\) và \(HQ\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\)là trung điểm của \(HQ\) hay \(H,\,\,M,\,\,Q\) thẳng hàng

Tam giác \(BAQ\) vuông tại \(B\)nên \(\cos \angle BAQ = \dfrac{{AB}}{{AQ}}\,\,\left( 5 \right)\)

Tam giác \(AEH\) vuông tại \(E\) nên \(\cos \angle HAE = \dfrac{{AE}}{{AH}}\,\,\left( 6 \right)\)

Mặt khác \(\angle BAQ = \angle HAE\,\,\left( {cmt} \right)\,\,\left( 7 \right)\)

Từ (5), (6) và (7) suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{AE}}{{AH}}\) hay \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AH}}{{AQ}}\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\dfrac{{AP}}{{AI}} = \dfrac{{AH}}{{AQ}}\) hay \(\dfrac{{AP}}{{AH}} = \dfrac{{AI}}{{AQ}}\)

Vậy \(PI\parallel HQ\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link