Cho hình tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều
Cho hình tứ diện \(ABCD\) có các mặt \(ABC,DBC\) là các tam giác đều cạnh bằng 1 và \(AD = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\). Khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AM \bot BC\) và \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\Delta DBC\) đều \( \Rightarrow DM \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {AMD} \right)\) và \(DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow \Delta AMD\) đều cạnh bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\({V_{ABCD}} = {V_{B.AMD}} + {V_{C.AMD}} = \dfrac{1}{3}\left( {BC.{S_{AMD}}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {1.\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{16}}\).
Mặt khác \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ACD}} \cdot d\left( {B,\left( {ACD} \right)} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {ACD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}}\).
Xét \(\Delta ACD\) có \(AC = DC = 1\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AD \Rightarrow CN \bot AD\).
Xét \(\Delta ACN\) vuông tại \(N \Rightarrow CN = \sqrt {A{C^2} - A{N^2}} = \sqrt {{1^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {13} }}{4}\).
\({S_{\Delta ACD}} = \dfrac{1}{2}AD . CN = \dfrac{1}{2}\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} . \dfrac{{\sqrt {13} }}{4} = \dfrac{{\sqrt {39} }}{{16}}\).
\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {ACD} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ACD}}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{{16}} \cdot \dfrac{{16}}{{\sqrt {39} }} = \dfrac{3}{{\sqrt {13} }}=0,83\)
Đáp án cần điền là: 0,83
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
