Cho \(\Delta MNP\,\,(MN < MP)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \((O).\) Ba đường cao

Câu hỏi số 750042:

Vận dụng

Cho \(\Delta MNP\,\,(MN < MP)\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \((O).\) Ba đường cao \(MD,NE,PF\) của \(\Delta MNP\) cắt nhau tại \(H\,\,(D \in NP;E \in MP;F \in MN)\). Kẻ đường kính \(MK\) của đường tròn \((O).\)

a) Chứng minh: Tứ giác \(MEHF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: \(MN.MP = MK.MD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:750042

Phương pháp giải

a) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Dựa vào định lí góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(\Delta MNK\) và \(\Delta MDP\) đồng dạng theo trường hợp g.g.

Giải chi tiết

a) Vì \(PF \bot MN,\,\,NE \bot MP\) (gt) nên \(\angle {MFH} = {90^0},\,\,\angle {MEH} = {90^0}\)

Khi đó:

M,F,H cùng thuộc đường tròn đường kính MH

M,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính MH

Suy ra bốn điểm M,E,H,F cùng thuộc đường tròn đường kính MH hay tứ giác \(MEHF\) nội tiếp.

b) \(\angle {MNK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle {MNK} = {90^0}\)

Vì \(MD \bot NP\) (gt) nên \(\angle {MDP} = {90^0}\)

Xét \(\Delta MNK\) và \(\Delta MDP\) có:

\(\angle {MNK} = \angle {MDP} = {90^0}\) (cmt)

\(\angle {MKN} = \angle {MPD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN)

Suy ra \(\Delta MNK\)~\(\Delta MDP\) (g.g)

Khi đó \(\dfrac{{MN}}{{MD}} = \dfrac{{MK}}{{MP}}\) hay \(MN.MP = MK.MD\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link