Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 1\), \(AC
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AB = 1\), \(AC = \sqrt 3 \), \(AA' = 2\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của đoạn \(B'C'\) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC'\) bằng \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{a}\). Tính \(a\).
Đáp án đúng là:
Quảng cáo
Ta có \(AA'//BB' \Rightarrow AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset BC'\) \( \Rightarrow d\left( {AA';BC'} \right) = d\left( {AA';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AK \bot BC\,\,\left( {K \in BC} \right)\), trong \(\left( {AHK} \right)\) kẻ \(AI \bot HK\,\,\left( {I \in HK} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow BC \bot AI\\\left\{ \begin{array}{l}AI \bot HK\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {BCC'B'} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AI = d\left( {AA';BC'} \right)\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có \(AK = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{1.\sqrt 3 }}{{\sqrt {{1^2} + {3}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(A'B'C'\) có \(B'C' = \sqrt {A'B{'^2} + A'C{'^2}} = 2\) \( \Rightarrow A'H = \dfrac{1}{2}B'C' = 1\).
\( \Rightarrow AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}} = \sqrt {4 - {1^2}} = \sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHK\) ta có \(AI = \dfrac{{AH.AK}}{{\sqrt {A{H^2} + A{K^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3 + \dfrac{3}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy \(d\left( {AA';BC'} \right) = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}\).
Đáp án cần điền là: 5
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
