Lập phương trình đường thẳng đi qua \(A(2 ; 3)\) và tạo với đường thẳng \(d: 2

Câu hỏi số 752680:

Vận dụng

Lập phương trình đường thẳng đi qua \(A(2 ; 3)\) và tạo với đường thẳng \(d: 2 x+y-4=0\) một góc bằng \(45^{\circ}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:752680

Giải chi tiết

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{\Delta}=(a ; b)\left(a^2+b^2>0\right)\). Ta có:

\((\Delta, d)=45^{\circ} \Leftrightarrow\left|\cos \left(\vec{n}_{\Delta}, \vec{n}_d\right)\right|=\cos 45^{\circ}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{\left|\vec{n}_{\Delta}, \vec{n}_d\right|}{\left|\vec{n}_{\Delta}\right| \cdot\left|\vec{n}_d\right|}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

\(\Leftrightarrow \dfrac{|2 a+b|}{\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2|2 a+b|=\sqrt{10} \sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow 3 a^2+8 a b-3 b^2=0.\)

Nếu \(b=0\) thì \(a=0\) (loại).

Nếu \(b \neq 0\) thì chia cả hai vế phương trình trên cho \(b^2\) ta có: \(3\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+8 \cdot \dfrac{a}{b}-3=0\)

Giải phương trình ta được \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{3}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=-3\).

Với \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{3}\), ta chọn \(a=1, b=3\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(d\) là: \(1(x-2)+3(y-3)=0\)

\(\Leftrightarrow x+3 y-11=0\)

Với \(\dfrac{a}{b}=-3\) ta chọn \(a=-3, b=1\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(d\) là:

\(-3(x-2)+1(y-3)=0 \Leftrightarrow-3 x+y+3=0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.