Biết \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}} dx = a\ln \left| {x - 1} \right| + b\ln \left| {x - 2} \right| + C\),

Câu hỏi số 754487:

Vận dụng

Biết \(\int {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}} dx = a\ln \left| {x - 1} \right| + b\ln \left| {x - 2} \right| + C\), với a, b nguyên. Tính giá trị \(T = a - b\).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:754487

Phương pháp giải

Phân tích \(\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{x - 2}}\), đồng nhất hệ số tìm A, B.

Nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{A}{{x - 1}} + \dfrac{B}{{x - 2}}\\ \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \dfrac{{A\left( {x - 2} \right) + B\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \dfrac{{\left( {A + B} \right)x + \left( { - 2A - B} \right)}}{{{x^2} - 3x + 2}}\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 1\\ - 2A - B = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - 2\\B = 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x - 2}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}} dx = \int {\left( {\dfrac{{ - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)dx} \\ \Rightarrow \int {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}} dx = - 2\int {\dfrac{1}{{x - 1}}dx} + 3\int {\dfrac{1}{{x - 2}}dx} \\ \Rightarrow \int {\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}} dx = - 2\ln \left| {x - 1} \right| + 3\ln \left| {x - 2} \right| + C\\ \Rightarrow a = - 2,\,\,b = 3 \Rightarrow T = a - b = - 2 - 3 = - 5.\end{array}\)

Đáp án cần điền là: -5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.