Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là các điểm nằm trên \(\left( C \right)\)

Câu hỏi số 756564:

Vận dụng

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là các điểm nằm trên \(\left( C \right)\) thỏa mãn \({x_A} < - 1 < {x_B}\). Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\) là

A. \(2\sqrt 2 \).

B. \(2\).

C. \(3\sqrt 2 \).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:756564

Phương pháp giải

Tính độ dài AB và tìm GTNN bằng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết

\(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là các điểm nằm trên \(\left( C \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{y_A} = \dfrac{{2{x_A} + 1}}{{{x_A} + 1}}\\{y_B} = \dfrac{{2{x_B} + 1}}{{{x_B} + 1}}\end{array} \right.\).

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{2{x_B} + 1}}{{{x_B} + 1}} - \dfrac{{2{x_A} + 1}}{{{x_A} + 1}}} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{{x_B} - {x_A}}}{{\left( {{x_A} + 1} \right)\left( {{x_B} + 1} \right)}}} \right)}^2}} \\ = \left( {{x_B} - {x_A}} \right)\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_A} + 1} \right)}^2}{{\left( {{x_B} + 1} \right)}^2}}}} \end{array}\)

\( = \left[ {\left( {{x_B} + 1} \right) - \left( {{x_A} + 1} \right)} \right]\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{{\left( {{x_A} + 1} \right)}^2}{{\left( {{x_B} + 1} \right)}^2}}}} .\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = - \left( {{x_A} + 1} \right) > 0\\b = {x_B} + 1 > 0\end{array} \right.\).

Khi đó \(AB = \left( {b + a} \right).\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}.{b^2}}}} \ge 2\sqrt {ab} .\sqrt {2.\sqrt {1.\dfrac{1}{{{a^2}{b^2}}}} } = 2\sqrt 2 \).

Do đó giá trị nhỏ nhất của AB là \(2\sqrt 2 \), đạt được khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\1 = \dfrac{1}{{{a^2}{b^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \left( {{x_A} + 1} \right) = 1\\{x_B} + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 2\\{x_B} = 0\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \(2\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.