Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) =

Câu hỏi số 759915:

Vận dụng

Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\), thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{\ln 2}}\). Tính giá trị biểu thức \(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2018} \right) + F\left( {2019} \right)\).

A. \(T = 1009.\dfrac{{{2^{2019}} + 1}}{{\ln 2}}\).

B. \(T = {2^{2019.2020}}\).

C. \(T = \dfrac{{{2^{2019}} - 1}}{{\ln 2}}\).

D. \(T = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{\ln 2}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759915

Phương pháp giải

Tìm nguyên hàm của hàm \(F\left( x \right)\) và tính tổng đưa về tổng cấp số nhân.

Giải chi tiết

Ta có \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {{2^x}} {\rm{d}}x = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\),

ta có \(F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\) mà \(F\left( 0 \right) = \dfrac{1}{{\ln 2}}\)

\( \Rightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\).

\(T = F\left( 0 \right) + F\left( 1 \right) + ... + F\left( {2018} \right) + F\left( {2019} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{\ln 2}}\left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{2018}} + {2^{2019}}} \right)\)\( = \dfrac{1}{{\ln 2}}.\dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{2 - 1}}\)\( = \dfrac{{{2^{2020}} - 1}}{{\ln 2}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.