Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1}

Câu hỏi số 759914:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right),B\left( { - 1;1;0} \right),C\left( {1;0;1} \right)\). Tìm điểm \(M\) sao cho \(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2} - 1} \right)\).

B. \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

C. \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};2} \right)\).

D. \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759914

Phương pháp giải

Tìm I thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Biến đổi và chứng minh biểu thức nhỏ nhất khi M trùng với I.

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \), suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {0 - {x_I}} \right) + 2\left( { - 1 - {x_I}} \right) - \left( {1 - {x_I}} \right) = 0\\3\left( {0 - {y_I}} \right) + 2\left( {1 - {y_I}} \right) - \left( {0 - {y_I}} \right) = 0\\3\left( { - 1 - {z_I}} \right) + 2\left( {0 - {z_I}} \right) - \left( {1 - {z_I}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - \dfrac{3}{4}\\{y_I} = \dfrac{1}{2}\\{z_I} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Ta có \(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2} - {\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = 4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)\)

\( = 4M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2}\).

Do đó yêu cầu đề bài \( \Leftrightarrow MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M \equiv I\).

Vậy \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.