Cho \(A = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\). Chứng

Câu hỏi số 759977:

Vận dụng

Cho \(A = \dfrac{1}{{1.2.3}} + \dfrac{1}{{2.3.4}} + \dfrac{1}{{3.4.5}} \ldots + \dfrac{1}{{18.19.20}}\). Chứng minh: \(A < \dfrac{1}{4}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:759977

Phương pháp giải

Tổng quát \(\dfrac{1}{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}} \cdot \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n \cdot \left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}\)

Từ đó ta tính \({\rm{2}}{\rm{.A\;}} = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \cdots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\) và so sánh với \(\dfrac{1}{2}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}} = \dfrac{2}{{1.2.3}};\dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}} = \dfrac{2}{{2.3.4}}\)\(; \ldots ;\dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{2}{{18.19.20}}\)

Tổng quát: \(\dfrac{1}{{n \cdot \left( {n + 1} \right)}} \cdot \dfrac{1}{{\left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}} = \dfrac{2}{{n \cdot \left( {n + 1} \right) \cdot \left( {n + 2} \right)}}\)

Do đó:

\({\rm{2}}{\rm{.A\;}} = \dfrac{2}{{1.2.3}} + \dfrac{2}{{2.3.4}} + \cdots + \dfrac{2}{{18.19.20}}\)

\( = \left( {\dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{2.3}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{2.3}} - \dfrac{1}{{3.4}}} \right) + \cdots + \left( {\dfrac{1}{{18.19}} - \dfrac{1}{{19.20}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{1.2}} - \dfrac{1}{{19.20}} = \dfrac{{189}}{{380}}\)

Vì \(\dfrac{{189}}{{380}} < \dfrac{{190}}{{380}} = \dfrac{1}{2}\) nên \(2{\rm{A}} < \dfrac{1}{2}\)

Vậy \({\rm{A}} < \dfrac{1}{4}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link