Với một tấm tôn hình tròn có bán kính R = 6 cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách

Câu hỏi số 763034:

Vận dụng

Với một tấm tôn hình tròn có bán kính R = 6 cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt một phần (dạng hình quạt) của hình tròn như hình bên dưới. Thể tích lớn nhất của hình nón có được khi người ta cắt cung tròn của hình quạt có chiều dài là bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:763034

Phương pháp giải

Gọi x (cm, x > 0) là chiều dài cung tròn được ghép tạo thành hình nón. Từ đó tìm bán kính, thể tích theo x. Tính GTNN của thế tích bằng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

Gọi x (cm, x > 0) là chiều dài cung tròn được ghép tạo thành hình nón. Suy ra đường tròn đáy của hình nón có độ dài là x (cm). Bán kính R của hình tròn sẽ trở thành đường sinh của hình nón.

Gọi bán kính của đáy là r (cm, r > 0).

Suy ra : \(2\Pi r = x \Rightarrow r = \dfrac{x}{{2\Pi }}\)

Chiều cao của hình nón là : \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\Pi ^2}}}} \)

Thể tích của hình nón là : \(V = \dfrac{1}{3}\Pi {r^2}h = \dfrac{\Pi }{3}{\left( {\dfrac{2}{{2\Pi }}} \right)^2}\sqrt {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\Pi ^2}}}} \)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

\({V^2} = \dfrac{{4{\Pi ^2}}}{9}.\dfrac{{{x^2}}}{{8{\Pi ^2}}}.\dfrac{{{x^2}}}{{8{\Pi ^2}}}\left( {{R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\Pi ^2}}}} \right) \le \dfrac{{4{\Pi ^2}}}{9}{\left( {\dfrac{{\dfrac{{{x^2}}}{{8{\Pi ^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{8{\Pi ^2}}} + {R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\Pi ^2}}}}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{4{\Pi ^2}}}{9}.\dfrac{{{R^6}}}{{27}}\)

Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi \(\dfrac{{{x^2}}}{{8{\Pi ^2}}} = {R^2} - \dfrac{{{x^2}}}{{4{\Pi ^2}}} \Leftrightarrow x = 4\sqrt 6 \Pi \) (cm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link