Một căn phòng có $100$ công tắc đèn (được đánh số từ $1$ đến

Câu hỏi số 767301:

Vận dụng

Một căn phòng có $100$ công tắc đèn (được đánh số từ $1$ đến $100$) đang tắt và có $100$ người đang xếp hàng để lần lượt đi vào phòng. Nguyên tắc khi vào phòng như sau: Khi người thứ $k$ đi vào phòng, người đó ấn tất cả công tắc đèn có số thứ tự chia hết cho $k{\rm{ }}\left( {1 \le k \le 100,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right).$ Khi $100$ người đã đi hết vào phòng, có bao nhiêu công tắc đèn đang bật sáng?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 10

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767301

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định trạng thái của đèn phụ thuộc vào số lần ấn (số các ước). Số lần ấn lẻ thì đèn sáng, chẵn thì đèn tắt.

Bước 2: Nhận diện đặc điểm của số có số lẻ các ước là số chính phương.

Bước 3: Đếm các số chính phương từ 1 đến 100.

Giải chi tiết

Nhận xét: Công tắc thứ $n$ được ấn bởi người thứ $k$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho $k$ (tức $k$ là ước của $n$).

Trạng thái đèn: Ban đầu đèn tắt. Đèn sẽ bật sáng nếu nó được ấn một số lẻ lần. Điều này tương đương với việc số $n$ phải có một số lẻ các ước nguyên dương.

Tính chất số học: Ta biết rằng các ước của một số nguyên dương luôn đi thành từng cặp $(d; \frac{n}{d})$.

Nếu $d \neq \frac{n}{d}$, số lượng ước sẽ là số chẵn.

Để số lượng ước là số lẻ, phải tồn tại một cặp mà $d = \frac{n}{d} \iff n = d^2$.

Vậy, chỉ có các số chính phương mới có số lượng ước là số lẻ.

Kết luận: Các số chính phương từ 1 đến 100 là: $1^2, 2^2, 3^2, \dots, 10^2$.

Có tất cả 10 số thỏa mãn.

Đáp án: 10

Đáp án cần điền là: 10

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.