Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + ay + bz + c = 0{\rm{ }}\left( {c >

Câu hỏi số 767302:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):{\rm{ }}x + ay + bz + c = 0{\rm{ }}\left( {c > 0} \right)$ song song với hai đường thẳng ${d_1}:{\rm{ }}\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}$ và ${d_2}:{\rm{ }}\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{1}.$ Khoảng cách từ ${d_1}$ đến $\left( P \right)$ gấp hai lần khoảng cách từ ${d_2}$ đến $\left( P \right).$ Giá trị $a - b + c$ bằng

Đáp án:

Đáp án đúng là: 12

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:767302

Phương pháp giải

Đường thẳng song song với mặt phẳng khi vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và điểm thuộc đường thẳng không thuộc mặt phẳng. Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ vuông góc bằng 0 để tìm các hệ số $a, b$. Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để thiết lập phương trình tìm $c$. Tính giá trị biểu thức $a - b + c$.

Giải chi tiết

Đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $M_1(1; -2; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (1; 1; 2)$.

Đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $M_2(1; 1; -2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (2; 1; 1)$.

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; a; b)$.

Vì mặt phẳng $(P)$ song song với hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ nên ta có hệ điều kiện:

$\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{u_1} = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{u_2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 \cdot 1 + a \cdot 1 + b \cdot 2 = 0 \\ 1 \cdot 2 + a \cdot 1 + b \cdot 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + 2b = -1 \\ a + b = -2 \end{cases}$

Giải hệ phương trình trên, ta được $b = 1$ và $a = -3$.

Khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ trở thành: $x - 3y + z + c = 0$ (với $c > 0$).

Khoảng cách từ $d_1$ đến $(P)$ là: $d(d_1, (P)) = d(M_1, (P)) = \dfrac{|1 - 3(-2) + 1 \cdot 1 + c|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \dfrac{|c + 8|}{\sqrt{11}}$.

Khoảng cách từ $d_2$ đến $(P)$ là: $d(d_2, (P)) = d(M_2, (P)) = \dfrac{|1 - 3(1) + 1(-2) + c|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \dfrac{|c - 4|}{\sqrt{11}}$.

Theo đề bài, khoảng cách từ $d_1$ đến $(P)$ gấp hai lần khoảng cách từ $d_2$ đến $(P)$:

$\dfrac{|c + 8|}{\sqrt{11}} = 2 \cdot \dfrac{|c - 4|}{\sqrt{11}} \Leftrightarrow |c + 8| = 2|c - 4|$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c + 8 = 2(c - 4) \\ c + 8 = -2(c - 4) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c + 8 = 2c - 8 \\ c + 8 = -2c + 8 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 16 \\ 3c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 16 \\ c = 0 \end{array} \right.$

Vì điều kiện $c > 0$ nên ta nhận giá trị $c = 16$.

Giá trị của biểu thức $a - b + c = -3 - 1 + 16 = 12$.

Đáp án cần điền là: 12

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.