Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\),
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), tam giác \(SBA\) vuông tại \(B\), tam giác \(SAC\) vuông tại \(C\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(D\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), suy ra \(SD \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có \(SD \bot AB\) và \(SB \bot AB\)(gt) suy ra \(AB \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow BA \bot BD\).
Tương tự có \(AC \bot DC\) hay tam giác \(ACD\) vuông ở \(C\).
Dễ thấy \(\Delta SBA = \Delta SCA\) (cạnh huyền và cạnh góc vuông), suy ra \(SB = SC\).
Từ đó ta chứng minh được \(\Delta SBD = \Delta SCD\) nên cũng có \(DB = DC\).
Vậy \(DA\) là đường trung trực của \(BC\) nên cũng là đường phân giác của góc \(\widehat {BAC}\).
Ta có \(\widehat {DAC} = 30^\circ \), suy ra \(DC = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\). Ngoài ra góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SBD} = 60^\circ \), suy ra \(\tan \widehat {SBD} = \dfrac{{SD}}{{BD}}\)\( \Rightarrow SD = BD.\tan \widehat {SBD}\)\( = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = a\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
