1) Cho biểu thức \(A = \left[ {\dfrac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x

Câu hỏi số 768484:

Vận dụng

1) Cho biểu thức \(A = \left[ {\dfrac{{2x - 1 + \sqrt x }}{{1 - x}} + \dfrac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}}} \right] \cdot \dfrac{{\left( {x - \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x - 1}} - 1\), với \(x \ge 0,x \ne 1,x \ne \dfrac{1}{4}\).

Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(A < \dfrac{{ - 1}}{7}\).
2) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a + b + c + 2\sqrt {abc} = 1\). Tính giá trị biểu thức

\(P = \sqrt {a\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} + \sqrt {b\left( {1 - c} \right)\left( {1 - a} \right)} + \sqrt {c\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)} - \sqrt {abc} + 2024\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768484

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn biểu thức, từ đó cho \(A < \dfrac{{ - 1}}{7}\) và tìm \(x\).

2) Từ đề bài ta phân tích được \(\;\sqrt {a\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} = a + \sqrt {abc} \); \(\sqrt {b\left( {1 - c} \right)\left( {1 - a} \right)} = b + \sqrt {abc} \); \(\sqrt {c\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)} = c + \sqrt {abc} \)

Giải chi tiết

1) Đặt \(\sqrt x = a \ge 0 \Rightarrow x = {a^2}\), ta có

\(A = \left[ {\dfrac{{2{a^2} - 1 + a}}{{1 - {a^2}}} + \dfrac{{2{a^3} + {a^2} - a}}{{{a^3} + 1}}} \right] \cdot \dfrac{{\left( {{a^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\)

\(A = \left[ {\dfrac{{\left( {a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}} + \dfrac{{a\left( {a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right] \cdot \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\)

\(A = \left[ {\dfrac{{\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {1 - a} \right)}} + \dfrac{{a\left( {2a - 1} \right)}}{{\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right] \cdot \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\)

\(A = \left[ {\dfrac{1}{{\left( {1 - a} \right)}} + \dfrac{a}{{\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right] \cdot \left( {2{\rm{a}} - 1} \right) \cdot \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right)}}{{2a - 1}} - 1\)

\(A = \dfrac{{{a^2} - a}}{{{a^2} - a + 1}} - 1\)

\(A = \dfrac{{ - 1}}{{{a^2} - a + 1}}\)

Khi đó \(A < - \dfrac{1}{7} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2} - a + 1}} > \dfrac{1}{7} \Leftrightarrow {a^2} - a + 1 < 7 \Leftrightarrow {a^2} - a - 6 < 0 \Leftrightarrow - 2 < a < 3\).
Mà \(a \ge 0\) nên \(0 \le x < 9,x \ne 1,x \ne \dfrac{1}{4}\)
Vậy \(0 \le x < 9,x \ne 1,x \ne \dfrac{1}{4}\)

2) Ta có \(a + b + c + 2\sqrt {abc} = 1 \Rightarrow b + c = 1 - a - 2\sqrt {abc} \), nên:

\(\sqrt {\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} = \sqrt {\left( {1 - b - c + bc} \right)} = \sqrt {1 - \left( {b + c} \right) + bc} \)

\(\; = \sqrt {1 - \left( {1 - 2\sqrt {abc} - a} \right) + bc} = \sqrt {a + 2\sqrt {abc} + bc} \)

\(\; = \sqrt {{{(\sqrt a + \sqrt {bc} )}^2}} = \sqrt a + \sqrt {bc} \)

\(\; \Rightarrow \sqrt {a\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)} = \sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt {bc} } \right) = a + \sqrt {abc} \)

Tương tự, ta có:

\(\sqrt {\left( {1 - c} \right)\left( {1 - a} \right)} = \sqrt b + \sqrt {ca} \Rightarrow \sqrt {b\left( {1 - c} \right)\left( {1 - a} \right)} = b + \sqrt {abc} \)

\(\sqrt {\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)} = \sqrt c + \sqrt {ab} \Rightarrow \sqrt {c\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)} = c + \sqrt {abc} \)

Do đó, ta được:

\(\;P = a + \sqrt {abc} + b + \sqrt {abc} + c + \sqrt {abc} - \sqrt {abc} + 2024\)

\(\; = a + b + c + 2\sqrt {abc} + 2024 = 2025\)

Vậy \(P = 2025\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link