1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = {y^3} + y}\\{4x + 6\sqrt

Câu hỏi số 768485:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = {y^3} + y}\\{4x + 6\sqrt {x - 1} + 7 = \left( {4x - 1} \right)y}\end{array}} \right.\)

2) Cho \(x,y,z\) là các số thực thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = 0\).

Chứng minh rằng: \(\dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} + \dfrac{{2y - 1}}{{{y^2} + 2}} + \dfrac{{2z - 1}}{{{z^2} + 2}} \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:768485

Phương pháp giải

1) Phân tích phương trình thứ nhất, tìm được \(y = x + 1\), từ đó thế vào phương trình (2) để giải.

2) Áp dụng \(\dfrac{{{m^2}}}{a} + \dfrac{{{n^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{(m + n)}^2}}}{{a + b}}\) với \(a,b > 0\) (không cần chứng minh).

Giải chi tiết

1) Điều kiện: \(x \ge 1,y \in \mathbb{R}\)
Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3{x^2} + 4x + 2 = {y^3} + y}\\{4x + 6\sqrt {x - 1} + 7 = \left( {4x - 1} \right)y}\end{array}} \right.\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(1)}\\{(2)}\end{array}\)

\(\;\left( 1 \right) \Leftrightarrow {(x + 1)^3} + \left( {x + 1} \right) = {y^3} + y\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1 - y} \right)\left[ {{{(x + 1)}^2} + \left( {x + 1} \right)y + {y^2} + 1} \right] = 0\)

\(\; \Leftrightarrow y = x + 1\) (vì \({(x + 1)^2} + \left( {x + 1} \right)y + {y^2} + 1 = {\left( {x + 1 + \dfrac{y}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{y^2}}}{4} + 1 > 0{\rm{\;}}\forall x,y\))

Thay \(y = x + 1\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\), ta được:

\(4x + 6\sqrt {x - 1} + 7 = \left( {4x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{{{(\sqrt {x - 1} + 3)}^2} = 4{x^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{\sqrt {x - 1} + 3 = 2x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \dfrac{3}{2}}\\{x - 1 = {{(2x - 3)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow x = 2} \right.} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)
Từ đó \( \Rightarrow y = 3\)
Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;3} \right)\).

2) Trong 3 số \(x,y,z\) luôn có hai số cùng không âm hoặc cùng không dương do \(x + y + z = 0\)

Không mất tổng quát, giả sử \(xy \ge 0\).

Đặt \(P = \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} + \dfrac{{2y - 1}}{{{y^2} + 2}} + \dfrac{{2z - 1}}{{{z^2} + 2}}\)
Áp dụng \(\dfrac{{{m^2}}}{a} + \dfrac{{{n^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{(m + n)}^2}}}{{a + b}}\) với \(a,b > 0\) (không cần chứng minh)

\(P + 3 = \left( {\dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{2y - 1}}{{{y^2} + 2}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{2z - 1}}{{{z^2} + 2}} + 1} \right)\)

\( = \dfrac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} + \dfrac{{{{(y + 1)}^2}}}{{{y^2} + 2}} + \dfrac{{{{(z + 1)}^2}}}{{{z^2} + 2}}\)

\(P + 3 \ge \dfrac{{{{(x + y + 2)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + 4}} + \dfrac{{{{(z + 1)}^2}}}{{{z^2} + 2}}\)

\(P + 3 \ge \dfrac{{{{(x + y + 2)}^2}}}{{{{(x + y)}^2} - 2xy + 4}} + \dfrac{{{{(z + 1)}^2}}}{{{z^2} + 2}}\)

\(\; \Rightarrow P + 3 \ge \dfrac{{{{(x + y + 2)}^2}}}{{{{(x + y)}^2} + 4}} + \dfrac{{{{(z + 1)}^2}}}{{{z^2} + 2}}\) (vì \(xy \ge 0\))

Do \(x + y + z = 0\) nên \(P + 3 \ge \dfrac{{{{(z - 2)}^2}}}{{{z^2} + 4}} + \dfrac{{{{(z + 1)}^2}}}{{{z^2} + 2}}\)

Ta chứng minh \(P + 3 \ge \dfrac{3}{2}\). Thật vậy

\(\dfrac{{{{(z - 2)}^2}}}{{{z^2} + 4}} + \dfrac{{{{(z + 1)}^2}}}{{{z^2} + 2}} \ge \dfrac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{(z - 2)}^2}\left( {{z^2} + 2} \right) + {{(z + 1)}^2}\left( {{z^2} + 4} \right)}}{{{z^4} + 6{z^2} + 8}} \ge \dfrac{3}{2}\)

\(\; \Leftrightarrow 2\left( {{z^2} - 4z + 4} \right)\left( {{z^2} + 2} \right) + 2\left( {{z^2} + 2z + 1} \right)\left( {{z^2} + 4} \right) \ge 3\left( {{z^4} + 6{z^2} + 8} \right)\)

\(\; \Leftrightarrow {z^4} - 4{z^3} + 4{z^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {z^2}\left( {{z^2} - 4z + 4} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {z^2}{(z - 2)^2} \ge 0\)

Điều nay đúng với mọi \(z\). Dấu bằng xảy ra khi \(z = 0\) hoặc \(z = 2\).
Suy ra \(P + 3 \ge \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(x = y,x \cdot y = 0,{z^2}{(z - 2)^2} = 0,x + y + z = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0\).
Vậy có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link