Cho 3 số thực dương \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thỏa \(a + 2b + 3c \ge 20\).Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu hỏi số 769308:

Vận dụng

Cho 3 số thực dương \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}}\) thỏa \(a + 2b + 3c \ge 20\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = a + b + c + \dfrac{3}{a} + \dfrac{9}{{2b}} + \dfrac{4}{c}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769308

Phương pháp giải

Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi \(a + 2b + 3c = 20\) và tại điểm rơi \(a = 2,b = 3,c = 4\).

\(a = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{m} = \dfrac{3}{a}\\\dfrac{3}{a} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{2}{m} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow m = \dfrac{4}{3}\); \(b = 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{b}{n} = \dfrac{9}{{2b}}\\\dfrac{9}{{2b}} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{3}{n} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow n = 2\); \(c = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{c}{k} = \dfrac{4}{c}\\\dfrac{4}{c} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{4}{k} = 1 \Rightarrow k = 4\)

Giải chi tiết

Ta có:\(A = \left( {\dfrac{{3a}}{4} + \dfrac{3}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{2} + \dfrac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\dfrac{c}{4} + \dfrac{4}{c}} \right) + \dfrac{{a + 2b + 3c}}{4} = \left( {\dfrac{{3a}}{4} + \dfrac{3}{a}} \right) + \left( {\dfrac{b}{2} + \dfrac{9}{{2b}}} \right) + \left( {\dfrac{c}{4} + \dfrac{4}{c}} \right) + 5\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{{3a}}{4} + \dfrac{3}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{{3a}}{4} \cdot \dfrac{3}{a}} = 2.\dfrac{3}{2} = 3\)

\(\dfrac{b}{2} + \dfrac{9}{{2b}} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{2} \cdot \dfrac{9}{{2b}}} = 2.\dfrac{3}{2} = 3\)

\(\dfrac{c}{4} + \dfrac{4}{c} \ge 2\sqrt {\dfrac{c}{4} \cdot \dfrac{4}{c}} = 2\)

Suy ra \(A \ge 3 + 3 + 2 + 5 = 13\)

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi \(a = 2,b = 3,c = 4\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 13.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link