Cho \(a,b > 0\) thỏa mãn \(a + b = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} +

Câu hỏi số 769309:

Vận dụng

Cho \(a,b > 0\) thỏa mãn \(a + b = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2} + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769309

Phương pháp giải

Chọn điểm rơi tại \(a = b = \dfrac{1}{2}\). Áp dụng Cauchy cho biểu thức \(P = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge 2ab + \dfrac{2}{{ab}}\) và sử dụng kĩ thuật điểm rơi để tách. Để sử dụng được tổng \(a + b = 1\) ta nhớ lại bất đẳng thức quen thuộc \(ab \le \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4}\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

\(P = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge 2ab + \dfrac{2}{{ab}} = 2ab + \dfrac{1}{{8ab}} + \dfrac{{15}}{{8ab}}\)

Lại có:

\(2ab + \dfrac{1}{{8ab}} \ge 2\sqrt {2ab \cdot \dfrac{1}{{8ab}}} = 1\)

\(ab \le \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{{15}}{{8ab}} \ge \dfrac{{15}}{{8 \cdot \dfrac{1}{4}}} = \dfrac{{15}}{2}\)

Do đó \(P = 2ab + \dfrac{1}{{8ab}} + \dfrac{{15}}{{8ab}} \ge 1 + \dfrac{{15}}{2} = \dfrac{{17}}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(2ab = \dfrac{1}{{8ab}} \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\dfrac{{17}}{2}\) khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link