Cho các số thực dương \(x,{\mkern 1mu} y\) thỏa mãn \(x + y \le 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 769310:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x,{\mkern 1mu} y\) thỏa mãn \(x + y \le 1\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:769310

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy suy ra \(P \ge \sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy} \).

Chọn điểm rơi tại \(x = y = \dfrac{1}{2}\), từ đó biến đổi \(\dfrac{1}{{xy}} + xy = \dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16xy}}\) rồi áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số \(\left( {\dfrac{1}{{16xy}};xy} \right)\).

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \Rightarrow \sqrt {xy} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow xy \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{{xy}} \ge 4\)

Ta có: \(P = \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\sqrt {1 + {x^2}{y^2}} \ge \dfrac{2}{{\sqrt {xy} }} \cdot \sqrt {1 + {x^2}{y^2}} = 2\sqrt {\dfrac{1}{{xy}} + xy} = 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}} + xy + \dfrac{{15}}{{16xy}}} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(\dfrac{1}{{16xy}} + xy \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{16xy}}.xy} = 2.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra: \(P \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot 4} = \sqrt {17} \)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng \(\sqrt {17} \) khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link