Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {\left( {4x - 1} \right)^2} = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1}

Câu hỏi số 772393:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {\left( {4x - 1} \right)^2} = \sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}} & \left( 1 \right)\\40{x^2} + x = y\sqrt {14x - 1} & & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772393

Phương pháp giải

Sử dụng phép thế \(y = \dfrac{{40{x^2} + x}}{{\sqrt {14x - 1} }}\) vào phương trình (1) và sử dụng máy tính cầm tay ta xác định được nghiệm \(x = \dfrac{1}{8},\,\,y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Khi đó \(4x = \dfrac{1}{2},\,\,8x + 1 = 2\)

Sử dụng BĐT Cauchy

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sqrt[3]{{4x\left( {8x + 1} \right)}} = \sqrt[3]{{\left( {8x} \right).\dfrac{{8x + 1}}{2}.1}} \le \dfrac{{8x + \dfrac{{8x + 1}}{2} + 1}}{3} = \dfrac{{8x + 1}}{2}\\y\sqrt {14x - 1} \le \dfrac{{{y^2} + 14x - 1}}{2}\end{array}\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {\left( {4x - 1} \right)^2} \le \dfrac{{8x + 1}}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\\40{x^2} + x \le \dfrac{{{y^2} + 14 - x}}{2}\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Lấy \(\left( 3 \right) + 2.\left( 4 \right)\) ta được \({y^2} + {\left( {4x - 1} \right)^2} + 2\left( {40{x^2} + x} \right) \le \dfrac{{8x + 1}}{2} + {y^2} + 14x - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 96{x^2} - 24x + \dfrac{3}{2} \le 0\\ \Rightarrow 96{\left( {x - \dfrac{1}{8}} \right)^2} \le 0\\ \Rightarrow x = \dfrac{1}{8}\end{array}\)

Khi đó \(y = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Thử lại ta thấy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{8};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link