Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 91} = \sqrt {y - 2} + {y^2}\,\,\left(

Câu hỏi số 772653:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 91} = \sqrt {y - 2} + {y^2}\,\,\left( 1 \right)\\\sqrt {{y^2} + 91} = \sqrt {x - 2} + {x^2}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:772653

Phương pháp giải

Trừ từng vế của (1) cho (2), rồi dùng liên hợp và phân tích thành nhân tử để tìm liên hệ giữa \(x,\,\,y\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 2,\,\,y \ge 2\)

Trừ từng vế (1) cho (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 91} - \sqrt {{y^2} + 91} = \sqrt {y - 2} - \sqrt {x - 2} + {y^2} - {x^2}\\\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 91} + \sqrt {{y^2} + 91} }} = \dfrac{{y - x}}{{\sqrt {y - 2} + \sqrt {x - 2} }} + \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right)\\\left( {x - y} \right)\left[ {\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 91} + \sqrt {{y^2} + 91} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 2} }} + x + y} \right] = 0\\x - y = 0\,\,\left( {do\,\,\dfrac{{x + y}}{{\sqrt {{x^2} + 91} + \sqrt {{y^2} + 91} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + \sqrt {y - 2} }} + x + y > 0,\,\,\forall x \ge 2,y \ge 2} \right)\\x = y\end{array}\)

Thay vào (1) ta được

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 91} = \sqrt {x - 2} + {x^2}\\\sqrt {{x^2} + 91} - 10 = \left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 9} \right)\\\dfrac{{{x^2} - 9}}{{\sqrt {{x^2} + 91} + 10}} = \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 2} + 1}} + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\\\left( {x - 3} \right)\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91} + 10}} - 1} \right) - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}}} \right] = 0\end{array}\)

Trường hợp 1: \(x = 3 \Rightarrow y = 3\)

Trường hợp 2: \(\left( {x + 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91} + 10}} - 1} \right) - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} = 0\)

Vì \(x \ge 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91} + 10}} - 1 \le 0\\x + 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91} + 10}} - 1} \right) < 0\)

Mà \(\dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} > 0,\,\,\forall x \ge 2\)

Do đó \(\left( {x + 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 91} + 10}} - 1} \right) - \dfrac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}} < 0,\,\,\forall x \ge 2\)

Thử lại ta thấy \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\) thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link