Gọi $S$ là phần hình phẳng màu xanh được tạo bởi hai đồ thị hàm số $y

Câu hỏi số 775765:

Thông hiểu

Gọi $S$ là phần hình phẳng màu xanh được tạo bởi hai đồ thị hàm số $y = \sin x + 1$ và $y = \cos x + 1$ như hình vẽ dưới. Biết thể tích của vật thể được tạo thành khi quay $S$ quanh trục Ox là $V = a\sqrt{b}\pi + c\pi^{2}\,$, với $a,b,c \in {\mathbb{N}}$, $b$ là số nguyên tố. Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c$. (nhập đáp án vào ô trống)

A graph of a function

Description automatically generated

Đáp án:

Đáp án đúng là: 6

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:775765

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị hàm số:$\left. \sin x + 1 = \cos x + 1\Leftrightarrow\sin x - \cos x = 0\Leftrightarrow\sqrt{2}\sin\left( {x - \dfrac{\pi}{4}} \right) = 0\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi\,\left( {k \in {\mathbb{Z}}} \right) \right.$

Khi đó, phần hình phẳng màu xanh được giới hạn bởi $x = \dfrac{\pi}{4}$ và $x = \dfrac{5\pi}{4}$.

Khi $x \in \left\lbrack {\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}} \right\rbrack$, ta có $\sin x + 1 \geq \cos x + 1 \geq 0$. Thể tích của vật thể tròn xoay khi đó bằng:

$V = \pi{\int\limits_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{5\pi}{4}}{\left| {\left( {\sin x + 1} \right)^{2} - \left( {\cos x + 1} \right)^{2}} \right|dx = \,}}\pi{\int\limits_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{5\pi}{4}}{\left( {\sin^{2}x - \cos^{2}x + 2\sin x - 2\cos x} \right)dx}}$

$V = \pi.{\int\limits_{\dfrac{\pi}{4}}^{\dfrac{5\pi}{4}}{\left( {- \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x} \right)dx =}}\,\pi.\left( {\dfrac{- \sin 2x}{2} - 2\cos x - 2\sin x} \right)\left| \begin{array}{l} {}^{\dfrac{5\pi}{4}} \\ {}_{\dfrac{\pi}{4}} \end{array} \right. = 4\pi\sqrt{2}$

Khi đó, $\left. a = 4,\, b = 2,\, c = 0\Rightarrow P = a + b + c = 6 \right.$.

Đáp án cần điền là: 6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.