Cho $\text{a},\text{b},\text{c}$ là ba số thực dương, $a > 1$ thỏa mãn$\log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left(

Câu hỏi số 779919:

Vận dụng

Cho $\text{a},\text{b},\text{c}$ là ba số thực dương, $a > 1$ thỏa mãn

$\log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left( {b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}} \right)^{2} + 4 + \sqrt{9 - c^{2}} = 0$

Khi đó, giá trị của biểu thức $T = a + 3b + 2c$ gần với giá trị nào nhất sau đây?

A. 8.

B. 9.

C. 7.

D. 10.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:779919

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức ${(x + y)}^{2} \geq 4xy$

$\log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left( {b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}} \right)^{2} + 4 + \sqrt{9 - c^{2}} \geq \left\lbrack {\log_{a}(bc) + 2} \right\rbrack^{2} + \sqrt{9 - c^{2}} \geq 0$

Xét điều kiện để dấu “=” xảy ra.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức ${(x + y)}^{2} \geq 4xy$, ta được:

$\left. \left( {b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}} \right)^{2} \geq b^{4}c^{4}\Rightarrow\log_{a}\left( {b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}} \right)^{2} \geq 4\log a(bc) \right.$

Do đó với $\forall a > 1,b,c > 0$

$\begin{array}{l} {\log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left( {b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}} \right)^{2} + 4 + \sqrt{9 - c^{2}} \geq \log_{a}^{2}(bc) + 4\log_{a}(bc) + 4 + \sqrt{9 - c^{2}}} \\ \left. \Leftrightarrow\log_{a}^{2}(bc) + \log_{a}\left( {b^{3}c^{3} + \dfrac{bc}{4}} \right)^{2} + 4 + \sqrt{9 - c^{2}} \geq \left\lbrack {\log_{a}(bc) + 2} \right\rbrack^{2} + \sqrt{9 - c^{2}} \geq 0 \right. \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\left. \left\{ \begin{matrix} {b^{3}c^{3} = \dfrac{bc}{4}} \\ {\log_{a}(bc) = - 2} \\ {c^{2} = 9} \\ {a > 1} \\ {b > 0} \\ {c > 0} \end{matrix} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = \sqrt{2}} \\ {b = \dfrac{1}{6}} \\ {c = 3} \end{array} \right. \right.$

Khi đó $T = a + 3b + 2c = \sqrt{2} + \dfrac{1}{2} + 6 \approx 7,91$.

Vậy giá trị của T gần 8 nhất.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.