Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho các số \(n + 1,\,\,2n + 1,\,\,5n + 1\) đều

Câu hỏi số 780276:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho các số \(n + 1,\,\,2n + 1,\,\,5n + 1\) đều là các số chính phương.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 24

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780276

Phương pháp giải

Chữ số tận cùng của số chính phương

Giải chi tiết

Nếu \(n = 3k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) thì \(n + 1 = 3k + 2 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí) vì \(n + 1\) là số chính phương

Nếu \(n = 3k + 2\) thì \(2n + 1 = 6k + 5 \equiv 2\,\,\left( {\bmod 3} \right)\) (vô lí) vì \(2n + 1\) là số chính phương

Do đó \(n \vdots 3\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(2n + 1\) là số chính phương lẻ nên \(2n + 1 \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,\,8} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2n \vdots 8\\ \Rightarrow n \vdots 4\end{array}\)

\( \Rightarrow n + 1\) lẻ

Vì \(n + 1\) là số chính phương lẻ nên \(n + 1 \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \Rightarrow n \vdots 8\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) và \(\left( {3,8} \right) = 1 \Rightarrow n \vdots 24\)

Với \(n = 24 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}n + 1 = 25 = {5^2}\\2n + 1 = 49 = {7^2}\\5n + 1 = 121 = {11^2}\end{array} \right.\)

Vậy \(n = 24\) là giá trị \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn.

Đáp án cần điền là: 24

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.