1) Giải phương trình $\sqrt{3x + 6} + \sqrt{x + 3} = 5$.2) Cho phương trình $x^{2} - 2\left( {m + 1} \right)x -

Câu hỏi số 780353:

Vận dụng

1) Giải phương trình $\sqrt{3x + 6} + \sqrt{x + 3} = 5$.

2) Cho phương trình $x^{2} - 2\left( {m + 1} \right)x - m^{2} - 2m - 2 = 0(1)$ (với $m$ là tham số). Chứng minh rằng với mọi $m$, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ trái dấu. Khi đó, tìm $m$ để biểu thức: $B = \dfrac{x_{1} + m + 1}{x_{2}} + \dfrac{x_{2} + m + 1}{x_{1}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:780353

Phương pháp giải

a) Chia các trường hợp:

Nếu $- 2 \leq x < 1$

Nếu $x > 1$

b) Áp dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: $x \geq - 2$
Nếu $- 2 \leq x < 1$ thì $\sqrt{3x + 6} + \sqrt{x + 3} < \sqrt{3.1 + 6} + \sqrt{1 + 3} = 5$ (loại)
Nếu $x > 1$ thì $\sqrt{3x + 6} + \sqrt{x + 3} > \sqrt{3.1 + 6} + \sqrt{1 + 3} = 5$ (loại)
Do đó: $x = 1$. Thử lại thây thỏa mãn bài toán
Vậy $x = 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) Vì $- m^{2} - 2m - 2 < 0$ với mọi $m$, phương trình luôn tồn tại 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ trái dấu.
Theo đinh lý viet, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2\left( {m + 1} \right)} \\ {x_{1}x_{2} = - m^{2} - 2m - 2} \end{array} \right.$
Ta có: $B = \dfrac{x_{1}}{x_{2}} + \dfrac{x_{2}}{x_{1}} + \left( {m + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{x_{1}} + \dfrac{1}{x_{2}}} \right) = \dfrac{\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2}}{x_{1}x_{2}} - 2 + \left( {m + 1} \right) \cdot \dfrac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}}$

$B = \dfrac{4{(m + 1)}^{2}}{- m^{2} - 2m - 2} + \dfrac{2{(m + 1)}^{2}}{- m^{2} - 2m - 2} - 2 = \dfrac{6{(m + 1)}^{2}}{- {(m + 1)}^{2} - 1} - 2$

Đặt $a = {(m + 1)}^{2}\left( {a \geq 0} \right)$
Suy ra $B = - \dfrac{6a}{a + 1} - 2$

Vì $a \geq 0$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {6a \geq 0} \\ {a + 1 > 0} \end{array} \right.$
Do đó: $B \leq 0 - 2 = - 2$
Dấu "=" xảy ra tại $a = 0$ hay $m = - 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link