a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left(

Câu hỏi số 781174:

Vận dụng

a) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$, với $x \geq 0;x \neq 9$.

b) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} = 0$. Tính giá trị của biểu thức $P = 2023\dfrac{a^{2023}}{c^{2023}} + 2024\dfrac{b^{2024}}{c^{2024}} + 2025\dfrac{c^{2025}}{a^{2025}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:781174

Phương pháp giải

a) Rút gọn và tách $~P = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} - 2$. Từ đó áp dụng BĐT Côsi.

b) Chứng minh $~a = b = c$. Từ đó tính P.

Giải chi tiết

a) Ta có:

$P = \dfrac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}$

$~ = \dfrac{x\sqrt{x} - 3 - 2{(\sqrt{x} - 3)}^{2} - \left( {\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}$

$~ = \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {x + 8} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 3} \right)} = \dfrac{x + 8}{\sqrt{x} + 1}$

$~ = \sqrt{x} - 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có $P \geq 2 \cdot \sqrt{\left( {\sqrt{x} + 1} \right) \cdot \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1}} - 2 = 4$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $\left. \sqrt{x} + 1 = \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1}\Leftrightarrow\sqrt{x} + 1 = 3\Leftrightarrow x = 4 \right.$.
Vậy $\text{min}P = 4$ tại $x = 4$.

b) Ta có $a + b + c - \sqrt{ab} - \sqrt{bc} - \sqrt{ca} = 0$

$\left. ~\Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{bc} - 2\sqrt{ca} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} + {(\sqrt{b} - \sqrt{c})}^{2} + {(\sqrt{c} - \sqrt{a})}^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow a = b = c > 0. \right.$

Thay vào $P = 2023 + 2024 + 2025 = 6072$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link