Cho 2024 phân số gồm:

Câu hỏi số 783890:

Vận dụng

Cho 2024 phân số gồm: $\dfrac{1}{2024};\dfrac{2}{2024};\dfrac{3}{2024};\cdots\dfrac{2023}{2024};\dfrac{2024}{2024}$. Mỗi lần thực hiện xóa đi hai số a; b bất kỳ trong dãy trên và thay vào đó số $a + b - 4ab$. Cứ làm như vậy đến khi còn duy nhất một số. Hãy tìm số đó.

A. $\dfrac{1}{4}$

B. $\dfrac{1}{6}$

C. $\dfrac{1}{8}$

D. $\dfrac{1}{24}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:783890

Phương pháp giải

Gọi $a_{i} = \dfrac{i}{2024}$ với $i \in {\mathbb{N}}^{*};i \leq 2024$

Đặt $T = \left( {4a_{1} - 1} \right)\left( {4a_{2} - 1} \right)\ldots\left( {4a_{2024} - 1} \right)$. Chứng minh $T$ không đổi khi xoá hai số bất kì. Gọi số đó là $x$. Thay vào $T$ để tìm $x$.

Giải chi tiết

Gọi $a_{i} = \dfrac{i}{2024}$ với $i \in {\mathbb{N}}^{*};i \leq 2024$

Đặt $T = \left( {4a_{1} - 1} \right)\left( {4a_{2} - 1} \right)\ldots\left( {4a_{2024} - 1} \right)$ thì $T = 0$ vì $4a_{506} - 1 = 4 \cdot \dfrac{506}{2024} - 1 = 1 - 1 = 0$

Khi ta xóa đi hai số bất kỳ $a_{m};a_{n}$ nào đó trong dãy ban đầu thì $T$ bị mất 2 thừa số là $4a_{m} - 1;4a_{n} - 1$ nhưng lại thêm thừa số $4\left( {a_{m} + a_{n} - 4a_{m}a_{n}} \right) - 1$

Mặt khác $4\left( {a_{m} + a_{n} - 4a_{m}a_{n}} \right) - 1 = \left( {4a_{m} - 1} \right)\left( {1 - 4a_{n}} \right) = - \left( {4a_{m} - 1} \right)\left( {4a_{n} - 1} \right)$

Do đó $T$ không đổi và bằng 0.

Gọi $x$ là số còn lại cuối cùng thì ta có $\left. 4x - 1 = 0\Rightarrow x = \dfrac{1}{4} \right.$

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link