Lấy 2018 điểm phân biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh

Câu hỏi số 783893:

Vận dụng cao

Lấy 2018 điểm phân biệt ở miền trong của một ngũ giác lồi cùng với 5 đỉnh của ngũ giác đó ta được 2023 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của ngũ giác là 1 đơn vị. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2023 điểm đã cho có diện tích không vượt quá $\dfrac{1}{4039}$ đơn vị.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:783893

Phương pháp giải

- Nối 2023 điểm thành n tam giác đôi một chỉ chung nhiều nhất một cạnh, phủ vừa kín ngũ giác.

- Lần lượt tính tổng các góc xung quanh một điểm trong ngũ giác là $360{^\circ}$ mà có 2018 điểm trong ngũ giác do đó tổng số đo và tổng các góc tại 5 đỉnh của ngũ giác. So sánh với số đo các góc của n tam giác trên để tìm n.

Giải chi tiết

Nối các điểm trong 2023 điểm đã cho tạo thành các tam giác đôi một chỉ chung nhiều nhất một cạnh, phủ vừa kín ngũ giác. Giả sử có $n$ tam giác được tạo thành. Khi đó tổng tất cả các góc của $n$ tam giác này là $n.180{^\circ}$.

Tổng trên có thể tính thông qua những tổng sau:

- Tổng các góc xung quanh một điểm trong ngũ giác là $360{^\circ}$ mà có 2018 điểm trong ngũ giác do đó tổng số đo là $2018.360{^\circ}$.

- Tổng các góc tại 5 đỉnh của ngũ giác là $3.180{^\circ}$

Do đó ta có $\left. n.180{^\circ} = 3.180{^\circ} + 2018.360{^\circ}\Rightarrow n = 4039 \right.$

Như vậy ta có 4039 tam giác đôi một chỉ chung nhiều nhất một cạnh tạo thành từ 2023 điểm phân biệt như đề bài phủ kín hình ngũ giác. Vì diện tích của ngũ giác là 1 đơn vị nên luôn tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá $\dfrac{1}{4039}$ đơn vị.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link