Cho hai biểu thức$M = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ và $N = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x}

Câu hỏi số 784455:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức$M = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ và $N = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 4}{1 - x}$ với $x \geq 0,x \neq 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức $M$ khi $x = 8 + 2\sqrt{7}$

b) Biết $P = \dfrac{M}{N}$. Chứng minh: $P = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}$

c) Tìm giá trị $x$ là số nguyên tố thoả mãn $P \leq \dfrac{1}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:784455

Phương pháp giải

a) Ta phân tích $x = 8 + 2\sqrt{7} = \left( {1 + \sqrt{7}} \right)^{2}$. Từ đó thay vào M để tính.

b) Rút gọn biểu thức N, sau đó xác định P.

c) Cho $P \leq \dfrac{1}{2}$, quy đồng và xác định $x$, kết hợp điều kiện để kết luận.

Giải chi tiết

a) Ta có: $x = 8 + 2\sqrt{7} = \left( {1 + \sqrt{7}} \right)^{2}$ (TMĐK)

Thay $x = \left( {1 + \sqrt{7}} \right)^{2}$ vào M .Tính được $M = \dfrac{1 + \sqrt{7} - 2}{1 + \sqrt{7} + 1} = \dfrac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} + 2} = \dfrac{\left( {\sqrt{7} - 1} \right)\left( {\sqrt{7} - 2} \right)}{\left( {\sqrt{7} + 2} \right)\left( {\sqrt{7} - 2} \right)} = 3 - \sqrt{7}$

b) Rút gọn $N = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x} - 4}{1 - x}$

$N = \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{x - 1} + \dfrac{\sqrt{x} - 4}{x - 1}$

$N = \dfrac{x - \sqrt{x} + \sqrt{x} - 4}{x - 1} = \dfrac{x - 4}{x - 1}$

Suy ra $P = \dfrac{M}{N} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}:\dfrac{x - 4}{x - 1} = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}$ ĐKXĐ:$x \geq 0,x \neq 1,x \neq 4$

c) Để $P \leq \dfrac{1}{2}$ thì $\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} \leq \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{1}{2} \leq 0$

$\dfrac{2(\sqrt{x} - 1)}{2(\sqrt{x} + 2)} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{2(\sqrt{x} + 2)} \leq 0$

$\dfrac{2\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} - 2}{2(\sqrt{x} + 2)} \leq 0$

$\dfrac{\sqrt{x} - 4}{2(\sqrt{x} + 2)} \leq 0$

$\sqrt{x} - 4 \leq 0$(vì $2(\sqrt{x} + 2) > 0$ với mọi $x$ thuộc ĐKXĐ)

$0 \leq x \leq 16$

Kết hợp ĐKXĐ, có: $0 \leq x < 16$ và $x \neq 1$; $x \neq 4$

Mà $x$ là số nguyên tố nên suy ra $x \in \left\{ {2;3;5;7;11;13} \right\}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link