Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi

Câu hỏi số 787719:

Vận dụng

Một cái thùng đựng nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng hai lần bán kính mặt đáy của thùng. Bên trong thùng có một cái phễu dạng hình nón có đáy là đáy của thùng, có đỉnh là tâm của miệng thùng (xem hình minh họa). Biết rằng có 12 lít nước vào thùng thì đầy thùng (nước không chảy được vào bên trong phễu), tính thể tích của phễu.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787719

Phương pháp giải

Gọi O là tâm của đáy, C là đỉnh, CA là một đường sinh của hình nón ban đầu.

Gọi tâm của đường tròn đáy thùng đựng nước là O’, B là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho B nằm trên đường sinh CA của hình nón ban đầu.

Chứng minh $\Delta CO'B$ đồng dạng với $\Delta CO'B$, từ đó suy ra tỉ lệ chiều cao của phễu so với hình nón ban đầu.

Gọi $V$ là thể tích khối nón ban đầu, $V_{p}$ là thể tích phễu, $V_{t}$ là thể tích thùng chứa đầy nước.

Ta có: $V = 2V_{p} + V_{t}$. Áp dụng công thức tính thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}Bh$ với B là diện tích đáy, h là chiều cao; tìm $V_{p}$.

Giải chi tiết

Gọi O là tâm của đáy, C là đỉnh, CA là một đường sinh của hình nón ban đầu.

Gọi O’ tâm của đường tròn đáy thùng đựng nước, B là một điểm thuộc đường tròn đáy sao cho B nằm trên đường sinh CA của hình nón ban đầu.

Xét $\Delta CO'B$ và $\Delta COA$, có:

$\angle ACO$ chung;

$\angle CO'B = \angle COA = 90^{o}$ (vì trục CO vuông góc với hai mặt phẳng đáy thùng).

Do đó $\Delta CO'B \backsim \Delta CO'B$(g.g), suy ra $\dfrac{CO}{CO'} = \dfrac{CA}{CB} = \dfrac{OA}{O'B} = 2$ (do bán kính miệng thùng gấp hai lần bán kính đáy thùng).

Gọi $V$ là thể tích khối nón ban đầu, $V_{p}$ là thể tích phễu, $V_{t} = 12$ là thể tích thùng chứa đầy nước.

Ta có: $V = 2V_{p} + V_{t}$.

Mặt khác: $\dfrac{V_{p}}{V} = \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi.O'B^{2}.CO'}{\dfrac{1}{3}\pi.OA^{2}.CO} = \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi.\left( \dfrac{OA}{2} \right)^{2}.\dfrac{CO}{2}}{\dfrac{1}{3}\pi.OA^{2}.CO} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$ hay $V = 8V_{p}$.

Do đó: $8V_{p} = 2V_{p} + V_{t}$ hay $6V_{p} = V_{t} = 12$.

Vậy thể tích của phễu là 2 lít.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link