Cho $\Delta ABC$ (AB < AC) nội tiếp (O; R) đường kính BC, trên cung nhỏ AC lấy điểm D, BD cắt AC
Cho $\Delta ABC$ (AB < AC) nội tiếp (O; R) đường kính BC, trên cung nhỏ AC lấy điểm D, BD cắt AC tại E, từ E vẽ $EF\bot BC$ tại F.
a) Chứng minh tứ giác BAEF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh DB là phân giác góc ADF.
c) Gọi M là trung điểm EC. Chứng minh DM.CA = CF.CO.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\angle BAE = 90^{o}$ và $\angle CFE = 90^{o}$, từ đó suy ra các điểm A, F, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE, hay tứ giác ABFE nội tiếp.
b) Tương tự câu a), chứng minh tứ giác DCFE nội tiếp.
Chứng minh $\angle ADB = \angle EDF$ (cùng bằng $\angle ACB$ dựa vào định lí về góc nội tiếp).
c) Chứng minh $DM = \dfrac{1}{2}EC$ dựa vào tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông.
Chứng minh $\Delta CFE \backsim \Delta CAB$ (g.g), suy ra $\dfrac{CF}{AC} = \dfrac{EC}{BC}$ rồi biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.
a) Vì $\angle BAE = 90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên A thuộc đường tròn đường kính BE.
Mặt khác, $\angle BFE = 90^{o}$ (do $BC\bot EF$ tại F) nên F thuộc đường tròn đường kính BE.
Do đó, các điểm A, F, B, E cùng thuộc đường tròn đường kính BE, hay tứ giác ABFE nội tiếp.
b) Vì $\angle CDE = 90^{o}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) nên E thuộc đường tròn đường kính CE.
Mặt khác, $\angle CFE = 90^{o}$ (do $BC\bot EF$ tại F) nên F thuộc đường tròn đường kính CE.
Do đó, các điểm D, F, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính CE, hay tứ giác DCFE nội tiếp.
Vì tứ giác DCFE nội tiếp nên ta có $\angle EDF = \angle ECF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF).
Mà tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên $\angle ADB = \angle ACB$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB).
Do đó, $\angle ADB = \angle EDF$ hay DB là phân giác của $\angle ADF$.
c) Xét $\Delta DEC$ vuông tại D, có M là trung điểm của cạnh huyền EC nên $DM = \dfrac{1}{2}EC$ hay $EC = 2DM$.
Xét $\Delta CFE$ và $\Delta CAB$ có:
$\angle ECF$ là góc chung;
$\angle CFE = \angle CAB = 90^{o}$.
Nên $\Delta CFE \backsim \Delta CAB$ (g.g).
Suy ra $\dfrac{CF}{AC} = \dfrac{EC}{BC}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ), suy ra $CF.BC = AC.EC$.
Do đó $CF.2CO = AC.2DM$ hay $CF.CO = AC.DM$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
