Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên
Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên mảnh sân hình vuông MNPQ nội tiếp trong sân hình vuông ABCD. Tìm vị trí của M, N, P, Q để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Quảng cáo
Diện tích hình vuông MNPQ nhỏ nhất khi tổng diện tích S của 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD lớn nhất.
Lập công thức tính diện tích tổng 4 tam giác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất.
Đặt AM = x (0 < x < 8, đơn vị: mét), khi đó MB = 8 – x (m).
Ta có $\Delta AMQ = \Delta BNM = \Delta CPN = \Delta DQP$.
Diện tích hình vuông MNPQ nhỏ nhất khi tổng diện tích S của 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD lớn nhất.
Ta có $S = 4.\dfrac{1}{2}AM.AQ = 2AM.AQ = 2AM.MB$ $\left( m^{2} \right)$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương là độ dài đoạn thẳng AM và MB, ta có:
$AM^{2} + MB^{2} \geq 2AM.MB$
$AM^{2} + 2AM.MB + MB^{2} \geq 4AM.MB$
$\left( {AM + MB} \right)^{2} \geq 4AM.MB$
$2AM.MB \leq \dfrac{\left( {AM + MB} \right)^{2}}{2}$
$S \leq \dfrac{8^{2}}{2}$
$S \leq 32$.
Dấu “=” xảy ra khi $AM = MB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
Vậy, khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA thì hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
