Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi K là trung điểm của BC.
a) Chứng minh $\Delta AEF$ đồng dạng $\Delta ABC$.
b) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF.
c) Đường phân giác góc FHB cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Gọi I là trung điểm của MN, J là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp và ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, suy ra \(\angle FBC = \angle AEF\).
Từ đó chứng minh \(\Delta AEF\)~ \(\Delta ABC\) (g.g).
b) Gọi P là giao điểm của AO và EF.
Chứng minh \(\angle EAP + \angle AEP = {90^o}\), từ đó suy ra \(AO \bot EF\).
c) Các bước chứng minh tứ giác AFHI nội tiếp:
+ \(\Delta AMN\) cân tại A (do \(\angle AMN = \angle MBH + \angle MHB = \angle NCH + \angle NHC = \angle ANM\)).
+ \(\angle AFH = \angle AIH = {90^o}\).
Các bước chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng:
+ IJ là đường trung trực của EF.
+ K cách đều E, F.
a) Vì BE, CF là hai đường cao của $\Delta ABC$ nên $\angle BFC = \angle BEC = 90^{o}$.
Do đó, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC, tức tứ giác BFEC nội tiếp.
Suy ra $\angle FBC + \angle FEC = 180^{o}$; mà $\angle FEA + \angle FEC = 180^{o}$ (góc kề bù) nên $\angle FBC = \angle AEF$.
Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có:
$\angle BAC$ chung;
$\angle FBC = \angle AEF$ (chứng minh trên).
Suy ra $\Delta AEF \backsim \Delta ABC$ (g.g).
b) Gọi P là giao điểm của AO và EF.
Ta có $\angle ABC = \dfrac{1}{2}\angle AOC$ vì $\angle ABC$ là góc nội tiếp và $\angle AOC$ là góc ở tâm cùng chắn cung AC.
Vì A, C cùng thuộc đường tròn tâm O nên OA = OC, suy ra $\Delta OAC$ cân tại O.
Do đó $\angle EAO = \dfrac{180^{o} - \angle AOC}{2} = \dfrac{180^{o}}{2} - \dfrac{\angle AOC}{2} = 90^{o} - \angle ABC$.
Mà $\angle ABC = \angle AEF$ nên $\angle EAO = 90^{o} - \angle AEF$
Suy ra $\angle EAO + \angle AEF = 90^{o}$ hay $\angle EAP + \angle AEP = 90^{o}$.
Xét $\Delta APE$ có: $\angle APE + \angle EAP + \angle AEP = 180^{o}$
+ $\angle APE + 90^{o} = 180^{o}$
+ $\angle APE = 90^{o}$.
Vậy $AO\bot EF$.
c) Vì HM là phân giác của $\angle FHB$ nên $\angle MHB = \dfrac{1}{2}\angle FHB$.
Vì HN là phân giác của $\angle EHC$ nên $\angle NHC = \dfrac{1}{2}\angle EHC$.
Mà $\angle FHB = \angle EHC$ (góc đối đỉnh) nên $\angle MHB = \angle NHC$.
Ta có:
+ $\angle MBH + \angle MHB = \angle AMN$ (cùng bù với $\angle HMB$);
+ $\angle NCH + \angle NHC = \angle ANM$ (cùng bù với $\angle HNC$);
+ $\angle MHB = \angle NHC$ (chứng minh trên);
+ $\angle MBH = \angle NCH$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF).
Suy ra $\angle AMN = \angle ANM$, do đó $\Delta AMN$ cân tại A.
Mà I là trung điểm của MN nên AI vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của $\Delta AMN$, suy ra $AI\bot MN$.
Ta có $\angle AFH = \angle AIH = 90^{o}$ nên F, I cùng thuộc đường tròn đường kính AH, hay tứ giác AFHI nội tiếp.
Suy ra $\angle FAH = \angle FEH$ (góc nội tiếp cùng chắn cung FH) (1)
Ta có:
+ $\angle PAE + \angle PEA = 90^{o}$;
+ $\angle FEH + \angle PEA = 90^{o}$.
Suy ra $\angle PAE = \angle FEH$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle FAH = \angle PAE$ (3)
Ta có AI là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\Delta AMN$ cân tại A nên $\angle MAI = \angle NAI$, suy ra $\angle FAH + \angle HAI = \angle PAE + \angle PAI$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\angle HAI = \angle PAI$ (5)
Vì $\Delta HAI$ vuông tại I có đường trung tuyến IJ ứng với cạnh huyền nên JA = JI, do đó $\Delta AJI$ cân tại J, suy ra $\angle HAI = \angle JIA$ (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\angle JIA = \angle PAI$, mà hai góc trên ở vị trí so le trong nên JI // AO.
Mà $AO\bot EF$ nên $IJ\bot EF$ (*)
Ta có $\angle AFH = \angle AEH = 90^{o}$ nên F, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH, hay tứ giác AFHI nội tiếp đường tròn tâm J. Do đó JF = JE (**)
Từ (*) và (**) suy ra JI là đường trung trực của đoạn thẳng EF.
Vì tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC với K là trung điểm của BC, suy ra KF = KE.
Do đó, K thuộc đường trung trực của IJ của EF, hay J, I, K thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
