Pha lê là một loại thủy tinh cao cấp có chứa các hợp chất kim loại, đặc biệt là Lead(II)

Câu hỏi số 789036:

Vận dụng

Pha lê là một loại thủy tinh cao cấp có chứa các hợp chất kim loại, đặc biệt là Lead(II) oxide $\left( \text{PbO} \right)$ hoặc có thể chứa Barium oxide $\left( \text{BaO} \right)$, giúp tăng độ trong suốt, độ sáng và khả năng khúc xạ ánh sáng. Nhờ vậy, pha lê có vẻ ngoài lấp lánh hơn so với thủy tinh thông thường. Pha lê thường được dùng để làm một số sản phẩm trang sức hoặc trang trí nội thất. Một quả cầu pha lê được chế tạo bằng cách: Nung chảy pha lê nguyên liệu trong lò ở nhiệt độ khoảng $1400 - 1600^{\circ}\text{C}$, đổ pha lê nóng chảy vào khuôn tròn hoặc dùng kỹ thuật thổi thủy tinh để tạo hình, làm nguội chậm để tránh nứt vỡ rồi đánh bóng bề mặt.

Một xưởng sản xuất làm một quả cầu pha lê có đường kính 18 cm và trang trí bằng cách sử dụng công nghệ khắc Laser để khắc hình một hình nón có đường tròn đáy và đỉnh nằm trên mặt cầu (như hình vẽ).

a) Tính thể tích và diện tích bề mặt của quả cầu thành phẩm (với $\pi \approx 3,14$ và làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).
b) Tính chiều cao của hình nón để thể tích hình nón trong hình cầu nói trên là lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789036

Phương pháp giải

a) Áp dụng công thức $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3}$; $\text{S}_{\text{xq}} = 4\pi\text{R}^{2}$.

b) Gọi chiều cao hình nón là $x\left( {cm} \right)$. Bán kính đáy hình nón là $r\left( {cm} \right)$.
Thể tích của hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi x^{2}\left( {18 - x} \right) = \dfrac{4}{3}\pi\dfrac{x}{2}\dfrac{x}{2}\left( {18 - x} \right)$
Xét $\text{A} = x^{2}\left( {18 - x} \right) - 864 = - \left( {x + 6} \right){(x - 12)}^{2} \leq 0$ do $0 < x < 18$
Do đó $V = \dfrac{1}{3}\pi x^{2}\left( {18 - x} \right) \leq \dfrac{1}{3}\pi.864 = 288\pi$

Giải chi tiết

a) Bán kính khối cầu 18:2=9 $\left( \text{cm} \right)$.
Thể tích khối cầu $V = \dfrac{4}{3}\pi R^{3} = \dfrac{4}{3} \cdot \pi 9^{3}$$= 972\pi\,\,(cm^{3})$
Diện tích bề mặt cần phun chống xước là:
$\text{S}_{\text{xq}} = 4\pi\text{R}^{2} = 4\pi 9^{2}$$\approx 1017,36\,\,(cm^{2})$

Gọi chiều cao hình nón là $x\left( {cm} \right)$. Bán kính đáy hình nón là $r\left( {cm} \right)$.
ĐK: $0 < x < 18;\,\, r > 0$
Ta có $r^{2} = 9^{2} - {(x - 9)}^{2} = 18x - x^{2} = x\left( {18 - x} \right)$
Thể tích của hình nón là: $V = \dfrac{1}{3}\pi x^{2}\left( {18 - x} \right) = \dfrac{4}{3}\pi\dfrac{x}{2}\dfrac{x}{2}\left( {18 - x} \right)$
Xét $\text{A} = x^{2}\left( {18 - x} \right) - 864 = - \left( {x + 6} \right){(x - 12)}^{2} \leq 0$ do $0 < x < 18$
Do đó $V = \dfrac{1}{3}\pi x^{2}\left( {18 - x} \right) \leq \dfrac{1}{3}\pi.864 = 288\pi$
Dấu "=" có khi $x = 12\left( {tm} \right)$
Vậy chiều cao của hình nón là 12 cm để thể tích hình nón nói trên là lớn nhất và khoảng $904,32~cm^{3}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link