Cho tam giác ABC nhọn $(\text{AB} < \text{AC})$ nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$ có
Cho tam giác ABC nhọn $(\text{AB} < \text{AC})$ nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$ có đường cao AD, $\text{BE},\text{CF}$ cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Đường thẳng $\text{EF},\text{BC}$ cắt nhau ở N. Chứng minh $\Delta NBF \backsim \Delta NEC$ và $NB \cdot AC = NF \cdot AB$
c) Gọi I là trung điểm của AH, đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AB ở K. Chứng minh $OK//BC$.
Quảng cáo
a) Chứng minh tam giác BEC, BFC nội tiếp đường tròn đường kính đường kính BC
b) Chứng minh các tam giác đồng dạng.
c) Kẻ đường kính AL, chứng minh được tứ giác BHCL là hình bình hành suy ra G là trung điểm của HL
Gọi J là trung điểm của BH, đường thẳng IJ cắt BC ở $\text{M},\text{G}$ là trung điểm BC.
Khi đó $\left. IF = IH,JF = JH\Rightarrow IJ\bot HF\Rightarrow IJ//AK \right.$.
H là trực tâm tam giác IMC nên $\left. MH\bot IC\Rightarrow MH//IK \right.$
Do đó $\Delta AIK = \text{Δ}IHM$ (g.c.g$\left. )\Rightarrow AK = IM \right.$.
Suy ra AIMK là hình bình hành nên KM // AH; $\left. KM = \dfrac{AH}{2}\Rightarrow KM = OG;KM//OG\Rightarrow KOGM \right.$ là hình bình hành.
Từ đó ta được $OK//BC$.
a) Tam giác BEC vuông tại E nên tam giác BEC nội tiếp đường tròn đường kính đường kính BC
Tam giác BFC vuông tại F nên tam giác BFC nội tiếp đường tròn đường kính đường kính BC
Vậy tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra
$\left. \angle BFE + \angle BCE = 180^{\circ}\Rightarrow\angle BFN = \angle BCE\left( {= 180^{\circ} - \angle BFE} \right) \right.$
Xét tam giác NBF và tam giác NEC có
$\angle N$ chung, $\angle BFN = \angle BCE\left( \text{cmt} \right)$
Suy ra $\Delta NBF \backsim \Delta NEC$ (g.g).
$\left. \Delta NBF \backsim \Delta NEC\Rightarrow\dfrac{NB}{NF} = \dfrac{NE}{NC} \right.$ (1)
$\left. \Delta NBE \backsim \Delta NFC\Rightarrow\dfrac{NB}{NF} = \dfrac{BE}{CF} \right.$ (2)
Xét tam giác ABE và ACF có $\angle BAC$ chung, $\angle BEA = \angle CFA\left( {= 90^{\circ}} \right)$
Suy ra $\left. \Delta BAE \backsim \Delta CAF\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{BE}{CF} = \dfrac{BA}{CA} \right.$ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được $\left. \dfrac{NB}{NF} = \dfrac{AB}{AC}\Rightarrow NB \cdot AC = NF \cdot AB \right.$
c) Kẻ đường kính AL, chứng minh được tứ giác BHCL là hình bình hành suy ra G là trung điểm của HL
OG // AH; $\text{OG} = \dfrac{\text{AH}}{2}$
Gọi J là trung điểm của BH, đường thẳng IJ cắt BC ở $\text{M},\text{G}$ là trung điểm BC.
Khi đó $\left. IF = IH,JF = JH\Rightarrow IJ\bot HF\Rightarrow IJ//AK \right.$.
H là trực tâm tam giác IMC nên $\left. MH\bot IC\Rightarrow MH//IK \right.$
Do đó $\Delta AIK = \text{Δ}IHM$ (g.c.g$\left. )\Rightarrow AK = IM \right.$.
Suy ra AIMK là hình bình hành nên KM // AH; $\left. KM = \dfrac{AH}{2}\Rightarrow KM = OG;KM//OG\Rightarrow KOGM \right.$ là hình bình hành.
Từ đó ta được $OK//BC$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
