Cho phương trình $x^{2} - 7x + 1 = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1};x_{2}$. Không giải phương

Câu hỏi số 789043:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - 7x + 1 = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1};x_{2}$. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: $A = \dfrac{1}{\sqrt{x_{1}~^{2} - 6x_{1} + 2}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}~^{2} - 6x_{2} + 2}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789043

Phương pháp giải

Tách A thành biểu thức chỉ chứa tổng S và tích P.

Từ đó áp dụng định lí Viète.

Giải chi tiết

Theo viét ta có : $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 7} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = 1} \end{array} \right.$
Vì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm phương trình nên ta có : $x_{1}~^{2} - 7x_{1} + 1 = x_{2}~^{2} - 7x_{2} + 1 = 0$

$A = \dfrac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} - 6x_{1} + 2}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}^{2} - 6x_{2} + 2}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{\left( {x_{1}^{2} - 7x_{1} + 1} \right) + x_{1} + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{\left( {x_{2}^{2} - 7x_{2} + 1} \right) + x_{2} + 1}}$

$~ = \dfrac{1}{\sqrt{\left( {x_{1} + 1} \right)}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2} + 1}}$

$= \dfrac{\sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{x_{2} + 1}}{\sqrt{\left( {x_{1} + 1} \right)\left( {x_{2} + 1} \right)}}$

$= \dfrac{\sqrt{x_{1} + x_{2} + 2 + 2\sqrt{x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}}}{\sqrt{x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}}$

$~ = \dfrac{\sqrt{7 + 2 + 2\sqrt{1 + 7 + 1}}}{\sqrt{1 + 7 + 1}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link