Cho phương trình $x^{2} - 7x + 1 = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1};x_{2}$. Không giải phương

Câu hỏi số 789043:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - 7x + 1 = 0$ có 2 nghiệm dương phân biệt $x_{1};x_{2}$. Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức: $A = \dfrac{1}{\sqrt{x_{1}~^{2} - 6x_{1} + 2}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}~^{2} - 6x_{2} + 2}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789043

Phương pháp giải

Tách A thành biểu thức chỉ chứa tổng S và tích P.

Từ đó áp dụng định lí Viète.

Giải chi tiết

Theo viét ta có : $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 7} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = 1} \end{array} \right.$
Vì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm phương trình nên ta có : $x_{1}~^{2} - 7x_{1} + 1 = x_{2}~^{2} - 7x_{2} + 1 = 0$

$A = \dfrac{1}{\sqrt{x_{1}^{2} - 6x_{1} + 2}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2}^{2} - 6x_{2} + 2}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{\left( {x_{1}^{2} - 7x_{1} + 1} \right) + x_{1} + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{\left( {x_{2}^{2} - 7x_{2} + 1} \right) + x_{2} + 1}}$

$~ = \dfrac{1}{\sqrt{\left( {x_{1} + 1} \right)}} + \dfrac{1}{\sqrt{x_{2} + 1}}$

$= \dfrac{\sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{x_{2} + 1}}{\sqrt{\left( {x_{1} + 1} \right)\left( {x_{2} + 1} \right)}}$

$= \dfrac{\sqrt{x_{1} + x_{2} + 2 + 2\sqrt{x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}}}{\sqrt{x_{1} \cdot x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}}$

$~ = \dfrac{\sqrt{7 + 2 + 2\sqrt{1 + 7 + 1}}}{\sqrt{1 + 7 + 1}} = \dfrac{\sqrt{15}}{3}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link