Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$ có $\text{AB} <

Câu hỏi số 789044:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$ có $\text{AB} < \text{AC}$. Kẻ các đường cao $\text{AH},\text{BK}$ và đường kính $\text{A}$. Gọi I là trung điểm BC , kẻ CF vuông góc với $\text{A}$ tại F.
a) Chứng minh tứ giác ABHK nội tiếp;
b) Chứng minh $\text{AB} \cdot \text{AC} = \text{AH}$. AA’ và tam giác HIF cân tại I;
c) Gọi M là trung điểm AC , trên đoạn thẳng HM lấy điểm P sao cho $\widehat{APB} = 90^{0}$. Chứng minh ba điểm $\text{O},\text{P},\text{B}$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789044

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta ABH,\Delta ABK$ nội tiếp đường tròn đường kính AB
Vậy tứ giác ABHK nội tiếp.

b) $\widehat{ACA^{\prime}} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), $\widehat{ABC} = \widehat{AA^{\prime}C}$ ( 2 góc nội tiếp chắn cung AC) Khi đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác $\text{AC}$ (g.g)

$\left. \Rightarrow\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{\text{A}}{AC}\Rightarrow AB \cdot AC = AH \cdot AA' \right.$

Chứng minh $\left. \widehat{IFH} = \widehat{IHF}\Rightarrow \right.$ Tam giác IFH cân tại I.

c) Chứng minh tia BO và BP trùng nhau

Vậy ba điểm $\text{B},\text{O},\text{P}$ thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác ABHK có $\left. \widehat{HBA} = \widehat{BKA} = 90^{0}\left( {gt} \right)\Rightarrow\Delta ABH,\Delta ABK \right.$ vuông tại H và K
$\left. \Rightarrow\Delta ABH,\Delta ABK \right.$ nội tiếp đường tròn đường kính AB
Vậy tứ giác ABHK nội tiếp.

$\left. \Rightarrow\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{\text{A}}{AC}\Rightarrow AB \cdot AC = AH \cdot AA' \right.$

Chứng minh được tứ giác AHFC , OIFC nội tiếp nên $\widehat{CBA^{\prime}} = \widehat{CAO} = \widehat{CHF} = \widehat{IHF}(1)$

$\left. ~\Rightarrow HF//BA' \right.$

$\widehat{FIC} = \widehat{IHF} + \widehat{IFH}$ (góc ngoài tam giác)
Mà $\left. \widehat{FIC} = \widehat{FOC} = 2.\widehat{OAC}\Rightarrow\widehat{IHF} + \widehat{IFH} = 2.\widehat{OAC} \right.$
Mặt khác $\widehat{IHF} = \widehat{OAC}$ (cùng chắn cung FC)

$\left. \Rightarrow\widehat{IFH} = \widehat{OAC}(2) \right.$

Từ (1) và (2) $\left. \Rightarrow\widehat{IFH} = \widehat{IHF}\Rightarrow \right.$ Tam giác IFH cân tại I.

c) $\widehat{BOA} = 2 \cdot \widehat{ACB}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn 1 cung)

$\widehat{BOA} + \widehat{BAO} + \widehat{ABO} = 180^{\circ}$

$\left. \Rightarrow\widehat{BOA} + 2 \cdot \widehat{BAO} = 180^{\circ} \right.$

$\left. \Rightarrow 2 \cdot \widehat{ACB} + 2 \cdot \widehat{BAO} = 180^{\circ} \right.$

$\widehat{ACB} + \widehat{BAO} = 90^{\circ}$

Mà $\left. \widehat{HAC} + \widehat{BAC} = 90^{\circ}\Rightarrow\widehat{BAO} = \widehat{HAC} \right.$ (3)
Tam giác APB và tam giác AHB nội tiếp đường tròn đường kính AB vì

$\left. \widehat{BPA} = \widehat{BHA} = 90^{\circ}\Rightarrow\widehat{ABP} = \widehat{PHA} \right.$ (4)

M là trung điểm AC , theo tính chất đường trung tuyến tam giác vuông $\text{AM} = \text{MC} = \text{MH}$

$\left. ~\Rightarrow\widehat{AHM} = \widehat{AHP} = \widehat{HAC} = \widehat{BAO} = \widehat{ABO} \right.$ (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra $\left. \widehat{ABP} = \widehat{ABO}\Rightarrow \right.$ Tia BO và BP trùng nhau

Vậy ba điểm $\text{B},\text{O},\text{P}$ thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link