Cho biểu thức $A = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2},B = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 4} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $\left( {x

Câu hỏi số 789927:

Thông hiểu

Cho biểu thức $A = \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2},B = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 4} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}$ với $\left( {x \neq 4,x > 0} \right)$

1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 9$

2) Xét biểu thức $C = B:A$. Rút gọn biểu thức C

3) Với $x \neq 4,x > 0$. So sánh $C$ và $C^{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789927

Phương pháp giải

1) Thay $x = 9$ vào biểu thức rồi tính.

2) Tính $C = B:A$ rồi rút gọn.

3) Xét hiệu $C - C^{2} = C\left( {1 - C} \right)$. Chứng minh $\text{C} > 0\ $và $1 - C > 0$, suy ra $C - C^{2} > 0$.

Giải chi tiết

1) Thay $x = 9\left( {TMĐK} \right)$ vào biểu thức A ta được: $A = \dfrac{2}{\sqrt{9} - 2} = \dfrac{2}{3 - 2} = 1$

Vậy $A = 1$ khi $x = 9$

2) Với $x \neq 4,x > 0$ ta có:

$C = B:A$$= \left| {\dfrac{\sqrt{x}}{x - 4} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2}} \right|:\dfrac{2}{\sqrt{x} - 2}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2}$

$= \dfrac{2\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 2}{2}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$

Vậy $C = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$ với $\neq 4,x > 0$.

3) Xét hiệu $C - C^{2} = C\left( {1 - C} \right)$

Ta có: $\sqrt{x} \geq 0$ với mọi $x \in ĐK$ nên $\sqrt{x} + 1 > 0$ và $\sqrt{x} + 2 > 0\ $

Do đó: $C = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} > 0\ $với mọi $x \in ĐK$ (1)

Lại có: $1 - C = 1 - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{\sqrt{x} + 2 - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $\sqrt{x} + 2 > 0\left( \text{cmt} \right)$ nên $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} > 0$ với mọi $x \in ĐK$

Do đó $1 - C > 0$ với mọi $x \in ĐK$

Từ (1) và (2) suy ra $C \cdot \left( {1 - C} \right) > 0$ với mọi $x \in ĐK$

Vậy $C > C^{2}$ với mọi $x \in ĐK$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link