Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} +

Câu hỏi số 790540:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1}} \right).\dfrac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 9;x \neq 1$

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25$.

2) Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$.

3) Xét biểu thức $P = AB$. Tìm các số nguyên tố $x$ để $P < 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790540

Phương pháp giải

1) Kiểm tra điều kiện của x.

Nếu thỏa mãn, thay $x = 25$ vào biểu thức $A$.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn P sau đó giải bất đẳng thức $P < 1$. Kết hợp điều kiện để tìm $x$.

Giải chi tiết

1) Với $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện), ta có:

$A = \dfrac{\sqrt{25} + 1}{\sqrt{25} - 3} = \dfrac{5 + 1}{5 - 3} = \dfrac{6}{2} = 3$

Vậy $A = 3$ khi $x = 25$.

2) Ta có:

$\begin{array}{l} {B = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1}} \right).\dfrac{x - \sqrt{x}}{2\sqrt{x} + 1}} \\ {= \left\lbrack {\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}} \right\rbrack.\dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{2\sqrt{x} + 1}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}.\dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{2\sqrt{x} + 1}} \\ {= \dfrac{\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {2\sqrt{x} + 1} \right)}} \\ {= \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}} \end{array}$

Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$.

3) Ta có: $P = A.B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$

Để $P < 1$ thì $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} < 1$

$\begin{array}{l} {\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - 1 < 0} \\ {\dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} < 0} \\ {\dfrac{3}{\sqrt{x} - 3} < 0} \end{array}$

Vì 3 > 0 nên $\dfrac{3}{\sqrt{x} - 3} < 0$ khi $\sqrt{x} - 3 < 0$ suy ra $\sqrt{x} < 3$ nên $x < 9$.

Kết hợp với $x \geq 0,x \neq 9;x \neq 1$ suy ra $0 \leq x < 9$

Mà $x$ là số nguyên tố nên $x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}$ thì $P < 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link