Cho hai biểu thức $\text{A} = \dfrac{1}{\sqrt{\text{x}} + 2} - \dfrac{2}{\sqrt{\text{x}} - 2} + \dfrac{\text{x} -

Câu hỏi số 791331:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $\text{A} = \dfrac{1}{\sqrt{\text{x}} + 2} - \dfrac{2}{\sqrt{\text{x}} - 2} + \dfrac{\text{x} - 3\sqrt{\text{x}} + 10}{\text{x} - 4}$ và $\text{B} = \dfrac{\sqrt{\text{x}} + 5}{\sqrt{\text{x}} - 2}\ \left( {\text{x} \geq 0;\text{x} \neq 4} \right)$

a) Tính giá trị của biểu thức B khi $\text{x} = 9$;

b) Rút gọn biểu thức A ;

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A.B$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:791331

Phương pháp giải

a) Thay $x = 9$ vào biểu thức rồi tính.

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Tính $P = A.B$ rồi tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 9$ (thỏa mãn đkxđ) vào biểu thức $B = \dfrac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 2}$ ta được: $B = \dfrac{\sqrt{9} + 5}{\sqrt{9} - 2} = \dfrac{3 + 5}{3 - 2} = 8$

Vậy với $x = 9$ giá trị của biểu thức $B = 8$.

b) Với $\text{x} \geq 0;\text{x} \neq 4$ ta có:

$\text{A} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} + \dfrac{x - 3\sqrt{x} + 10}{x - 4}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 2 - 2\sqrt{x} - 4 + x - 3\sqrt{x} + 10}{\left( {\sqrt{x} + 2} \right)\left( \sqrt{x - 2} \right)}$

$= \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\left( {\sqrt{x} + 2} \right)\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{\left( {\sqrt{x} + 2} \right)\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$

Vậy $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}$ với $\text{x} \geq 0;\text{x} \neq 4$

c) Ta có: $P = A.B = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} + 2} = 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} \geq 0$. Suy ra $\sqrt{x} + 2 \geq 2$ nên $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} \leq \dfrac{1}{2}$

Do đó: $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 2} \leq \dfrac{3}{2}$ suy ra $P = 1 + \dfrac{3}{\sqrt{x} + 2} \leq \dfrac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 0$

Vậy giá trị lớn nhất của $P$ là $\dfrac{5}{2}$ khi $x = 0$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link