Cho phương trình $x^{2} - 7x + m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm

Câu hỏi số 792916:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - 7x + m - 1 = 0$ (m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1},\,\, x_{2}$ thỏa mãn: $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}^{2} - 6x_{2} + m - 1} = 3$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:792916

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Sau đó áp dụng hệ thức Viète kết hợp điều kiện $x_{2}$ là nghiệm của phương trình để tìm m.

Giải chi tiết

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt $x_{1},\,\, x_{2}$ khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{matrix} {\Delta = 49 - 4(m - 1) > 0} \\ {x_{1} + x_{2} = 7 > 0} \\ {x_{1}.x_{2} = m - 1 > 0} \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} {m < \dfrac{53}{4}} \\ {m > 1} \end{matrix} \right.$ hay $1 < m < \dfrac{53}{4}$

Theo hệ thức Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = 7,\ \ \ x_{1}.x_{2} = m - 1$

Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình nên:

$x_{2}^{2} - 7x_{2} + m - 1 = 0$

$x_{2}^{2} = 7x_{2} - m + 1$

Theo bài ra ta có:

$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}^{2} - 6x_{2} + m - 1} = 3$

$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{7x_{2} - m + 1 - 6x_{2} + m - 1} = 3$

$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = 3$

$x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 9$

$7 + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 9$

$\sqrt{x_{1}x_{2}} = 1$

$x_{1}x_{2} = 1$

$m - 1 = 1$

$m = 2$ (TMĐK)

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link