Cho phương trình $x^{2} - 19x + 9 = 0$ có hai nghiệm phân biệt dương $x_{1},x_{2}$. Không tính

Câu hỏi số 793098:

Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - 19x + 9 = 0$ có hai nghiệm phân biệt dương $x_{1},x_{2}$. Không tính $x_{1},x_{2}$, chứng minh hai số $a = \sqrt{x_{1}} + 3\sqrt{x_{2}}$ và $b = \sqrt{x_{2}} + 3\sqrt{x_{1}}$ là hai nghiệm của phưong trình $x^{2} - 20x + 87 = 0$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793098

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Viete tính tổng và tích a,b.

Giải chi tiết

Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng định lý Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 19} \\ {x_{1}.x_{2} = 9} \end{array} \right.$

Ta có: $a + b = \sqrt{x_{1}} + 3\sqrt{x_{2}} + \sqrt{x_{2}} + 3\sqrt{x_{1}} = 4\left( {\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} \right)$

Mà $\left( {\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} \right)^{2} = x_{1} + x_{2} + 2\sqrt{x_{1}x_{2}} = 19 + 2\sqrt{9} = 19 + 6 = 25$ nên $\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}} = 5$

Suy ra $a + b = 4.5 = 20$

Lại có:

$a.b = \left( {\sqrt{x_{1}} + 3\sqrt{x_{2}}} \right)\left( {\sqrt{x_{2}} + 3\sqrt{x_{1}}} \right)$

$= \sqrt{x_{1}x_{2}} + 3x_{1} + 3x_{2} + 9\sqrt{x_{1}x_{2}}$

$= 3\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 10\sqrt{x_{1}x_{2}} = 3.19 + 10\sqrt{9} = 87$

Vậy $a$ và $b$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 20x + 87 = 0$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link