Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} -

Câu hỏi số 793164:

Thông hiểu

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$(với điều kiện x > 0, x ≠ 1)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm tất cả các giá trị thực của x để 23x.P = 2025

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793164

Phương pháp giải

a) Quy đồng với MTC: $x - 1$ và rút gọn.

b) Cho 23x.P = 2025, từ đó xác định x.

Giải chi tiết

a) $P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ (với điều kiện $x > 0$, $x \neq 1$)

$= \left\lbrack {\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)} + \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}} \right\rbrack:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

$= \dfrac{2\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}.\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$.

Vậy $P = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với điều kiện $x > 0$, $x \neq 1$.

b) $23x.P = 2025$ (với điều kiện $x > 0$, $x \neq 1$)

$23x.\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} = 2025$

$46x = 2025\left( {\sqrt{x} + 1} \right)$

$46x - 2025\sqrt{x} - 2025 = 0$ (*)

Đặt $t = \sqrt{x}$ $(t > 0)$. Khi đó phương trình (*) trở thành:

$46t^{2} - 2025t - 2025 = 0$ (**)

Ta có $\Delta = b^{2} - 4ac = {( - 2025)}^{2} - 4.46.( - 2025) = 4473225 > 0$.

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt:

$t_{1} = \dfrac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{- ( - 2025) + \sqrt{4473225}}{2.46} = 45$ (TM);

$t_{2} = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{- ( - 2025) - \sqrt{4473225}}{2.46} = - \dfrac{45}{46}$ (loại).

Với $t_{1} = 45$ thì $\sqrt{x} = 45$, suy ra $x = 2025$ (thỏa mãn).

Vậy để $23x.P = 2025$ thì $x = 2025$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link