Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} -

Câu hỏi số 793164:

Thông hiểu

Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$(với điều kiện x > 0, x ≠ 1)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm tất cả các giá trị thực của x để 23x.P = 2025

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793164

Phương pháp giải

a) Quy đồng với MTC: $x - 1$ và rút gọn.

b) Cho 23x.P = 2025, từ đó xác định x.

Giải chi tiết

a) $P = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ (với điều kiện $x > 0$, $x \neq 1$)

$= \left\lbrack {\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)} + \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}} \right\rbrack:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

$= \dfrac{2\sqrt{x}}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}.\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$.

Vậy $P = \dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$ với điều kiện $x > 0$, $x \neq 1$.

b) $23x.P = 2025$ (với điều kiện $x > 0$, $x \neq 1$)

$23x.\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1} = 2025$

$46x = 2025\left( {\sqrt{x} + 1} \right)$

$46x - 2025\sqrt{x} - 2025 = 0$ (*)

Đặt $t = \sqrt{x}$ $(t > 0)$. Khi đó phương trình (*) trở thành:

$46t^{2} - 2025t - 2025 = 0$ (**)

Ta có $\Delta = b^{2} - 4ac = {( - 2025)}^{2} - 4.46.( - 2025) = 4473225 > 0$.

Do đó, phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt:

$t_{1} = \dfrac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{- ( - 2025) + \sqrt{4473225}}{2.46} = 45$ (TM);

$t_{2} = \dfrac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{- ( - 2025) - \sqrt{4473225}}{2.46} = - \dfrac{45}{46}$ (loại).

Với $t_{1} = 45$ thì $\sqrt{x} = 45$, suy ra $x = 2025$ (thỏa mãn).

Vậy để $23x.P = 2025$ thì $x = 2025$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link