Cho phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$a) Tính giá trị của ∆, từ đo suy ra phương trình luôn có hai

Câu hỏi số 793675:

Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$

a) Tính giá trị của ∆, từ đo suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $x_{1}$, $x_{2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{2}{x_{2} - 1} + \dfrac{x_{2}}{x_{1} - 1}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793675

Phương pháp giải

a) Tính $\Delta$ và kết luận số nghiệm của phương trình.

b) Tách $P = \dfrac{2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 3}{x_{1}x_{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 1}$. Từ đó áp dụng định lí Viète.

Giải chi tiết

a) Phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$ có $a = 1;b = - 3,c = 1.$

$\Delta = b^{2} - 4ac = \left( {- 3} \right)^{2} - 4.1 = 5 > 0$

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Ta có

$\begin{array}{l} {P = \dfrac{2}{x_{2} - 1} + \dfrac{x_{2}}{x_{1} - 1}} \\ {= \dfrac{2\left( {x_{1} - 1} \right)}{\left( {x_{2} - 1} \right).\left( {x_{1} - 1} \right)} + \dfrac{x_{2}\left( {x_{2} - 1} \right)}{\left( {x_{2} - 1} \right).\left( {x_{1} - 1} \right)}} \\ {= \dfrac{2x_{1} - 2 + x_{2}^{2} - x_{2}}{x_{1}x_{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 1}} \end{array}$

Vì $x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$ nên $x_{2}^{2} - 3x_{2} + 1 = 0$

Suy ra $x_{2}^{2} = 3x_{2} - 1$

Thay $x_{2}^{2} = 3x_{2} - 1$ vào tử số của $P = \dfrac{2x_{1} - 2 + x_{2}^{2} - x_{2}}{x_{1}x_{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 1}$, ta được

$2x_{1} - 2 + \left( {3x_{2} - 1} \right) - x_{2}$

$= 2x_{1} - 2 + 3x_{2} - 1 - x_{2}$

$= 2x_{1} + 2x_{2} - 3$

$= 2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 3$

Suy ra $P = \dfrac{2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 3}{x_{1}x_{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 1}$

$x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình nên theo Viète, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} = 3} \\ {x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a} = 1} \end{array} \right.$

Thay $x_{1} + x_{2} = 3$ và $x_{1}x_{2} = 1$ vào $P = \dfrac{2\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 3}{x_{1}x_{2} - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 1}$, ta được: $P = \dfrac{2.3 - 3}{1 - 3 + 1} = - 3.$

Vậy $P = - 3.$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link