Cho biểu thức $A = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x}}$với $P = \dfrac{2}{x_{2} - 1} +

Câu hỏi số 793674:

Thông hiểu

Cho biểu thức $A = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x}}$với $P = \dfrac{2}{x_{2} - 1} + \dfrac{x_{2}}{x_{1} - 1}$$x$là số thực dương

a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 1$

b) Rút gọn biểu thức A

c) Chứng minh với mọi số thực dương $x$ thì $(x + 1)A \geq 2$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793674

Phương pháp giải

a) Thay $x = 1$ (TMĐK) vào biểu thức $A$.

b) Quy đồng và rút gọn.

c) Ta phân tích $(x + 1)A = \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 1$ (TMĐK) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \dfrac{1}{\sqrt{1} + 1} + \dfrac{1}{1 + \sqrt{1}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.

Vậy khi $x = 1$ thì $A = 1$.

b) $A = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{x + \sqrt{x}}$ (với $x$ là số thực dương)

$= \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{1}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

Vậy $A = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ với $x$ là số thực dương.

c) Ta có $(x + 1)A = (x + 1)\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\sqrt{x}$ và $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, ta có:

$\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}} = 2$.

Vậy với mọi số thực dương $x$, ta có $(x + 1)A \geq 2$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link