1) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\dfrac{- 2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{2\sqrt{x}}{x +

Câu hỏi số 794229:

Vận dụng

1) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\dfrac{- 2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{2\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$, với $x > 0$ và $x \neq 1$

2) Cho phương trình $x^{2} - 7x + 5 = 0$, biết phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\, x_{2}$. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức $P = \left| {x_{2} - 3} \right| + \sqrt{x_{1} + 4}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:794229

Phương pháp giải

1) Quy đồng và rút gọn.

2) Do $x_{1}$ là nghiệm của $x^{2} - 7x + 5 = 0$ nên $x_{1}^{2} - 7x_{1} + 5 = 0$ hay $x_{1} + 4 = x_{1}^{2} - 6x_{1} + 9 = \left( {x_{1} - 3} \right)^{2}$

Suy ra $\sqrt{x_{1} + 4} = \sqrt{\left( {x_{1} - 3} \right)^{2}} = \left| {x_{1} - 3} \right|$

Áp dụng định lí Viete.

Giải chi tiết

1) ĐK: $x > 0$ và $x \neq 1$

$A = \left( {\dfrac{- 2}{x - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{2\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$

$A = \left( {\dfrac{- 2}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}} \right):\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$A = \dfrac{- 2 + \sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}:\dfrac{2}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}.\dfrac{\sqrt{x} + 1}{2}$

$A = \dfrac{1}{2}$

Vậy $A = \dfrac{1}{2}$ với $x > 0$ và $x \neq 1$

2) Do $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 7x + 5 = 0$ nên áp dụng định lý Viete ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 7} \\ {x_{1}x_{2} = 5} \end{array} \right.$

Do $x_{1}$ là nghiệm của $x^{2} - 7x + 5 = 0$ nên $x_{1}^{2} - 7x_{1} + 5 = 0$ hay $x_{1} + 4 = x_{1}^{2} - 6x_{1} + 9 = \left( {x_{1} - 3} \right)^{2}$

Suy ra $\sqrt{x_{1} + 4} = \sqrt{\left( {x_{1} - 3} \right)^{2}} = \left| {x_{1} - 3} \right|$

Thay vào $P = \left| {x_{2} - 3} \right| + \sqrt{x_{1} + 4}$ ta có $P = \left| {x_{2} - 3} \right| + \left| {x_{1} - 3} \right|$

Ta thấy $P \geq 0$ nên

$\begin{array}{l} {P^{2} = \left( {x_{1} - 3} \right)^{2} + \left( {x_{2} - 3} \right)^{2} + 2\left| {\left( {x_{1} - 3} \right)\left( {x_{2} - 3} \right)} \right|} \\ {\,\,\,\,\,\, = \left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) - 6\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 18 + 2\left| {x_{1}x_{2} - 3\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 9} \right|} \\ {\,\,\,\,\,\, = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 6\left( {x_{1} + x_{2}} \right) + 18 + 2\left| {5 - 3.7 + 9} \right|} \\ {\,\,\,\,\,\, = 7^{2} - 4.5 - 6.7 + 18 + 2.7 = 29} \end{array}$

Vậy $P = \sqrt{29}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link